Transformaciones Lineales

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA.

Algebra Lineal.

“Transformaciones Lineales”

Marisela Castillo López.

Arriola NavarreteDavid Emmanuel.

No. Control: 11210108.

Equipo #4.

Tijuana B.C. a 08 De Diciembre del 2012.

5.1) Introducción a lasTransformaciones lineales.
Transformación Lineal: Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeolineal
de V a W es una función T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier
escalar c:
T(u + v) = T(u) + T(v)T(c u) = c T(u)

Ejemplo:
Demuestre que la transformación T : R3→R2
es lineal:
T((x, y, z)’) = (x + z, y − z)′
Solución
Sean u =(x1, y1, z1)′y v = (x2, y2, z2)′. Entonces
T(u + v) = T((x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)′)= ((x1 + x2) + (z1 + z2),(y1 + y2) − (z1 + z2))′= (x1 + z1, y1 − z1)′ + (x2 + z2, y2 − z2)′
= T(u) + T(v)
Por otro lado, para todo escalar c,
T(c u) = T((c x1, c y1, c z1)′)
=(c x1 + c z1, c y1 − c z1)′
= c (x1 + z1, y1 − z1)′
= c T((x1, y1, z1)′)
= c T(u)
Como se cumplen las dos condiciones:
T(u + v) =T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)
T es lineal
Ejemplo:
¿Es lineal la transformación f : R→R, definida por f(x) = x + 1 ?
4Soluci´on
No,la parte 1 de la definicion no se cumple porque
f(x + y) = (x + y) + 1
y
f(x) + f(y) = x + 1 + y + 1 = x + y + 2
no son iguales