Transformaciones Lineales

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GRUPO: 1´´A´´ AGRONOMIA

NOMBRE ALUMNO: CARLOS REFUGIO PASCASIO R.

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 5

TEMA: TRANSFORMACIONES LINEALES

MORELIA Mich. 10-DIC-12
´´INTRODUCCION´´´
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales so una estructura adicional, al saber, suselementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, en la cual conviene utilizar funciones que se preserven ducha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.
Se denomina también transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las decisiones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuenciaen el álgebra lineal y en otras ramas de matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen una gran aplicación física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
A continuación estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuacioneslineales.

´´DESARROLLO: TRANSFORMACIONES LINEALES´´

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean  y  espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo, y  una función de  en.   Es una transformación lineal si para todo par de vectores  y pertenecientes a  ypara todo escalar   perteneciente a, se satisface que:
1.
2.  donde k es un escalar.
Se pueden clasificar también en las siguientes transformaciones:
1. Monomorfismo: Si  T:V   W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. Ker(T): 0W
2. Epimorfismo: Si  T:V   W es sobreyectiva (suryectiva).
3. Isomorfismo: Si T:V    Wes biyectiva (inyectiva y suryectiva)

´´INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES´´
En el presente capitulo que abordamos se trata sobre una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

Ejemplo: 1 reflexión respecto al eje X.

EnR2 se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima:

Un fabricante elabora cuatro tipos de productosdistintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cadamaterial se necesitan? Seanp1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene quer=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades
de manera similar  r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades
Y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

o Ap= r.
Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace...