Transformaciones y congruencias geometricas

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene por objetivo conocer de los puntos más importantes de dos temas de geometría como son las transformaciones y congruencias en las figuras geométricas.
Se va a investigar sobre las rotaciones traslaciones y la simetría axial como parte de las transformaciones geométricas. De igual manera se conocerá sobre la congruencia y transformación de un plano y lacongruencia de triángulos
A continuación se presenta la información recabada sobre el tema objeto de este estudio

TRANSFORMACIONES:
Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.
TRASLACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A delplano le corresponde otro punto A' también del plano de forma que . Siendo el vector que define la traslación.
La traslación se designa por , luego .
El punto A' es el punto trasladado de A.
Un punto y su trasladado se dice que son homólogos.
* Traslación de una recta
Una recta se transforma, mediante una traslación, en una recta paralela.
* Traslación de una circunferencia
Lahomóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.
ROTACIONES
Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras. El sentido de rotación puede ser positivo (en contra del sentido horario) o negativo (a favor del sentido horario).ROTACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Dados un punto O y un ángulo α, se llama giro de centro O y ángulo α a una transformación G que hace corresponder a cada punto P otro P' = G(P) de modo que:
El sentido de giro positivo de es del contrario al movimiento de las agujas del reloj.
Los giros son movimientos isométricos, dado que conservan las distancias.
* Giro de centro O(0,0)

* Giro decentro O'(a,b)

COMPOSICIÓN DE GIROS
* Con el mismo centro
Al aplicar sucesivamente dos giros de igual centro O y amplitudes α y β se obtiene un giro de igual centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes α+β .
* Con distinto centro

SIMETRÍA AXIAL
Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también delplano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'.

Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.
* Coordenadas de puntos mediante simetrías axiales

1. coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas
Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abscisas opuestas y susordenadas iguales.

P(x, y) P(-x, y)
x = -x' y = y'

2. Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas
Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de abscisas tienen sus abscisas iguales y sus ordenadas opuestas.

P(x, y) P(x, -y)

x = x' y = -y'

* Composición de simetrías axiales

1. Simetría de ejes paralelos

La composición de dos simetrías ejesparalelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene:
La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.
La dirección del vector es perpendicular a los ejes.
El sentido es el que va de e a e'.
Simetría de ejes perpendiculares
La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría
* Ejede simetría
El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra

FIGURAS GEOMÉTRICAS CONGRUENTES
Dos o más figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Se demuestra que son congruentes si sus ángulos homólogos (correspondientes) tienen la misma medida y sus...