Transformaciones

Capítulo 3 Transformaciones
Sin duda, el concepto de función juega un papel fundamental en todas las ramas de la matemática de hoy en día: en la Geometría Elemental (aunque sea viejita), se dice que dos figuras son Congruentes si existe una Transformación Rígida que lleve una sobre la otra, y que son Semejantes si existe una de estas transformaciones que seguida de una Homotesia (un cambio deescala) lleve una a la otra; en el Análisis o el Cálculo se estudian las funciones Integrables o Diferenciables; en la Topología, las funciones Continuas; en la Teoría de los Grupos se estudian los Homomorfismos (funciones entre grupos que preservan la operación ahí definida); en el Álgebra Lineal se estudian las funciones Lineales y las Afines; etc., siempre que hay algún tipo interesante de “objetosmatemáticos” parece haber una correspondiente noción de “funciones” que los relacionan. Sin haberlo hecho explicito, los griegos manejaban intuitivamente el concepto de transformación rígida y de semejanza; por ejemplo, en el axioma “todos los ángulos rectos son iguales”, en la palabra “iguales” se incluye la idea de que se puede mover uno hasta traslaparse sobre el otro, y en sus teoremas desemejanza la noción ya se hace explicita y habla en el fondo de un cierto tipo de funciones. Más adelante, en el surgimiento del Cálculo (Newton y Leibnitz) así como en el de la Geometría Analítica (Descartes) o en el Algebra de los Arabes, las funciones jugaban un papel importante pero debajo del agua o en casos muy concretos (funciones reales de variable real dadas por fórmulas en el Cálculo, porejemplo). Sin embargo, el aislamiento del concepto de función, la generalidad de la noción –que englobaba cosas al parecer distantes–, es muy reciente: termina de afinarse con la Teoría de los Conjuntos que arranca Cantor en la segunda mitad del XIX. Pero es tan imediata su aceptación (o bien, ya estaba tan madura su concepción) que a principios del Siglo XX, Klein, en una famosísima conferencia(conocida como “El Programa de Erlangen”) se avienta el boleto de afirmar que la Geometría es el estudio de un espacio (un conjunto de puntos, piénsese en el plano) junto con un grupo de transformaciones (un conjunto específico de funciones del espacio en sí mismo) y de las estructuras que permanecen invariantes bajo el grupo. En fin, todavia el estudiante no tiene ejemplos claros de estas nociones 109110

CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES

y es casi imposible que lo aprecie. Pero el punto es que, de alguna manera, Klein dijo: para hacer geometría es importantísimo estudiar las transformaciones (funciones) del plano en sí mismo, conocerlas de arriba a abajo; y en este Capítulo en esas andamos... pues el Siglo XX, al transcurrir, le fué dando más y más razón al visionario. Damos muy rapidamentelas nociones generales de función en la primera Sección. Pues, aunque parece que se nos cae el nivel por un ratito, vale la pena establecer cierta terminología muy general que se usa en su manejo y ciertos ejemplos muy particulares que serán de gran interes en el estudio de las transformaciones geométricas, y que a su vez, serviran para familiarizarse con los conceptos básicos. Despues leentramos a las transformaciones geométricas. El orden en que lo hacemos no es el que técnicamente facilita las cosas (empezar por transformaciones lineales), sino el que intuitivamente parece más natural (empezar por transformaciones rígidas); y de ahí, deducir la noción de transformación lineal para regresar de nuevo y desarrollar las fórmulas analíticas.

3.1

Funciones y transformaciones

En lossiguientes parrafos se usa el tipo de letra este para las nociones que se definen formalmente y este otro para terminología comoda y coloquial que facilita mucho el manejo de las funciones. Dados dos conjuntos A y B, una función f de A a B, denotado f : A → B, es una manera de asociar a cada elemento f a ∈ A un elemento de B, denotado f(a). Por ejemplo, las funA B ciones de R en R se describen...