Transformaciones

En los problemas 1 a 8, identifique la ecuación como homogénea, de Bernuolli, con coeficientes lineales o de la forma y ’= G (ax+by).
1. (y - 4x - 1)2dx – dy = 0
CLASIFICACIÓN: de la forma y’=G (ax + by).

2. (2tx)dx + (t2- x2)dt = 0
CLASIFICACIÓN: homogénea.

3. (t + x + 2)dx + (3t – x - 6)dt = 0
CLASIFICACIÓN: coeficientes lineales.

4. dydx + yx = x3y2
CLASIFICACIÓN:Bernuolli.

5. (ye-2x + y3)dx - e-2xdy = 0
CLASIFICACIÓN: Bernuolli.

6. θdy – ydθ = θy dθ
CLASIFICACIÓN: homogénea.

7. (y3- θy2)dθ + 2(θ2y)dy = 0
CLASIFICACIÓN: homogénea.

8. cos(x + y)dy = sen(x + y)dx
CLASIFICACIÓN: de la forma y’=G (ax + by).

Utilice el método que se analizo en la sección “ecuaciones homogéneas” para resolver los problemas 9 a 16.
9. (3x2-y2)dx + (xy - x3y-1)dy = 0
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(x/y).
dxdy =(xy-x3/y)(y2-3x2)dxdy = xy-xy31-3xy2
Si xy=u entonces dxdy=u+ydudy
PASO 2: aplicamos el cambio de variable.
u+ydudy=u-u31-3u2 ydudy=u-u3-u+3u31-3u2
ydudy=2u31-3u2

PASO 3: simplificamos y separamos variables.
dyy=(1-3u2)du2u3Integrando, lny+C=-14u2-32lnu
PASO 4: reemplazamos u = y/x
lny+C=-y24x2-32lnxy
4lny+C=-y2x2-6lnx+6lny
2 lny-6 lnx-y2x2=C
lny2x6-y2x2=C (Ecuación implícita)

10. (xy + y2)dx - x2dy = 0
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(x/y).
dydx = xy+y2x2 dydx =yx+yx2
Si yx=uentonces dydx=u+xdudx

PASO 2: aplicamos el cambio de variable.
u+u2= u+xdudx
PASO 3: simplificamos y separamos variables.
dxx=duu2 Integrando, lnx+k=-1u
PASO 4: reemplazamos u = y/x
lnx+C=-xy
PASO 5: despejamos y.
y=-xlnx+C

11. (y2 - xy)dx + x2dy = 0
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(x/y).
dydx =xy-y2x2dydx = yx-yx2
Si yx=u entonces dydx=u+xdudx
PASO 2: aplicamos el cambio de variable.
u-u2= u+xdudx
PASO 3: simplificamos y separamos variables.
dxx=-duu2 Integrando, lnx+k=1u
PASO 4: reemplazamos u = y/x
lnx+C=xy
PASO 5: despejamos y.
y=xlnx+C

12. (x2 + y2)dx + 2(xy)dy = 0
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(x/y).
dydx=x2+y2-2xy dydx =-12xy+yx
Si yx=u entonces dydx=u+xdudx
PASO 2: aplicamos el cambio de variable.
-121u+u= u+xdudx Simplificamos;
-12u-3u2= xdudx -1-3u22u=xdudx
PASO 3: separamos variables.
dxx=-2udu3u2+1 Integrando;
lnx+k=-13ln|3u2+1|
PASO 4: reemplazamos u = y/x
-3lnx+k=ln3y2x2+1 -3lnx+k=ln3y2+x2x2-3lnx+k=ln3y2+x2-2lnx ln3y2+x2x=k
3xy2+x3=C 3xy2=C-x3
PASO 5: despejamos y.
y=C-x3 3x
13. dxdt = x2+tt2+x2tx
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(x/t).
dxdt = xt+tx2+1
Si xt=u entonces dxdt=u+tdudt

PASO 2: aplicamos el cambio de variable.
u+1+u2u2=u+tdudt Simplificando tenemos; 1+u2u2=tdudtPASO 3: separamos variables.
dtt=uduu2+1 Integrando; lnt+k=u2+1
u2+1=ln2|kt|
PASO 4: reemplazamos u = y/x
1+x2t2=ln2|kt|
1+x2t2=lnt+C (Ecuación implícita)

14. dydθ = θsecyθ+yθ
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(y/θ).
dydθ = secyθ+yθ
Si yθ=u entonces dydθ=u+θdudθ
PASO 2: aplicamos el cambio de variable.
secu+u=u+θdudθSimplificando tenemos; secu=θdudθ
PASO 3: separamos variables.
dθθ=dusec u
dθθ=cosu du Integramos;
lnθ-sen u=C
PASO 4: reemplazamos u = y/x
lnθ-sen yθ=C (Ecuación implícita)

15. dydx = x2-y23xy
PASO 1: como es una ecuación homogénea sabemos que será de la forma G(x/y).
dydx =13xy-yx
Si yx=u entonces dydx=u+xdudx
PASO 2: aplicamos el...