Transformaciones2D3D

Rotación, escalamiento, translación,
primitivas, ángulos de Euler

Transformaciones
2D y 3D
Fundamentos de Robótica

Chavarría Sandoval Marco Antonio
De Blas Palma Jorge Alberto
Gómez Simón Christian
Macías Vázquez Jorge

25/02/2014

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

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Contenido
1. Transformaciones 2D
1.1 Rotaciones 2D

Página 2

1.2 Escalamiento 2D

Página 4

1.3 Traslación 2D

Página6

1.4 Primitivas 2D

Página 8

2. Transformaciones 3D
2.1 Ángulos de Euler

Página 10

2.2 Rotación 3D en un eje

Página 13

2.3 Rotación 3D en un plano

Página 17

2.4 Escalamientos 3D

Página 18

2.5 Traslación 3D en un eje

Página 20

2.6 Traslación 3D en un plano

Página 22

2.7 Primitivas 3D

Página 23

3. Ejercicios clase

Página 28

4. Referencias

Página 33

INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN |UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO

2

Transformaciones 2D
1.1 Rotación 2D
Las rotaciones principales 2D son aquellas que se llevan a cabo alrededor del origen, las rotaciones
sobre cualquier otro punto arbitrario se llaman rotaciones generales 2D. Para generar una rotación
se especifica el ángulo de rotación α, y el punto de rotación (pivote) sobre el cuál el objeto será
rotado.
Ladefinición matemática para obtener el nuevo punto es la siguiente:
𝑥 ′ = 𝑥 (cos 𝛼) − 𝑦 (𝑠𝑒𝑛 𝛼)
𝑦 ′ = 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝛼 ) + 𝑦 (cos 𝛼)
Donde ‘x’ y ‘y’ es la coordenada del punto original a rotar (pivote) y ‘α’ es el ángulo que rotará el
punto.
Ejemplo rotación 2D α = 90°

2.5

2

Pivote (x,y)

1.5
Punto rotado(x', y')

1

0.5

0
-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

𝒙′ = 𝟏 (𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎) − 𝟐 (𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎) = -2
𝒚′ = 𝟏(𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎) +𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎) = 1

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1.5

La fórmula de rotación implica SIN y COS los cuales tienen origen de funciones trigonométricas;
Para realizar una rotación necesitamos de un punto base (pivote) del cual se genera la rotación,
el punto tiene una línea hacia el centro del plano, el cual es usado como ‘cateto’ de un triángulo
rectángulo,entonces para obtener ese ángulo respecto al eje x influye directamente la ‘base’ y
la ‘altura’ de los cuales se necesita de un seno y coseno para obtener ese ángulo α

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf

Ejemplo rotación 2D α = 180°

2.5
Pivote
(x,y)

2

1.5
1
0.5

X

0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.5
-1
-1.5
Punto rotado(x', y')
-2
-2.5

Y

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3

𝒙′ = 𝟏 (𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎) − 𝟐 (𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎) = -1
𝒚′ = 𝟏(𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎) + 𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎) = -2

1.2 Escalamiento 2D
El escalamiento permite cambiar el tamaño de un objeto expandiéndolo o contrayéndolo en sus
dimensiones. El escalamiento 2D implica el cambio de tamaño de un polígono, donde cada punto es
transformado por la multiplicación de 2 factores de escalamiento a lolargo de los ejes
respectivamente.
Existen 2 tipos de escalamiento:


Uniforme: la figura es la misma pero con diferente tamaño: 𝑺𝒙 = 𝑺𝒚



Diferencial: la figura puede aumentar en ‘x’ o ‘y’: 𝑺𝒙 ≠ 𝑺𝒚

Para ver si el escalamiento aumentará o disminuirá de tamaño a la figura, se tiene la siguiente
definición:


S = 1 … la figura no cambiará



S > 1 … la figura aumentará de tamaño



S < 1 … lafigura reducirá su tamaño

La definición matemática para obtener el nuevo punto es la siguiente:


𝑥 ′ = 𝑥 ∗ 𝑆𝑥



𝑦 ′ = 𝑦 ∗ 𝑆𝑦

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4

5

Ejemplo escalamiento uniforme 2D

2.5

2
Sx = Sy = 2

Escalamiento Uniforme

1.5

1
D (0,1)

C (1,1)

0.5

B (1,0)

A (0,0)
0

0
0

Punto A’

0
0.5

1

1.5

2

𝒙′ = 𝟎 ∗ 2 = 0
𝒚′ = 𝟎 ∗ 2 = 0Punto B’

𝒙′ = 𝟏 ∗ 2 = 2
𝒚′ = 𝟎 ∗ 2 = 0

Punto C’

𝒙′ = 𝟏 ∗ 2 = 2
𝒚′ = 𝟏 ∗ 2 = 2

Punto D’

𝒙′ = 𝟎 ∗ 2 = 0
𝒚′ = 𝟏 ∗ 2 = 2

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2.5

6

Ejemplo escalamiento diferencial 2D

4.5
4
D (1,4)

C (4,4)

3.5
3
2.5
2
A (1,1)

Sx = 0.5
Sy = 0.3

1.5

B (4,1)

1
Escalamiento diferencial

0.5
0
0

0.5

1

1.5

Punto A’

2

2.5

3

3.5...