Transformacioneslineales

TRANSFORMACIONES LINEALES

DEFINICIÓN: Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T: V W, que satisface las siguientes propiedades:

1. T(u + v) =T(u) + T(v), ∀ u, v ε V

2. T(av) = aT(v), ∀ a ε R, ∀ v ε V

Se dice, respectivamente, que T preserva la suma y el producto por escalares.

En caso de que V = W la transformación lineal T : VV también recibe el nombre de operador lineal sobre V.



Algunas propiedades básicas

Propiedades básicas de las transformaciones lineales.

Si V y W son espacios vectoriales y T: V Wes una transformación lineal, entonces:

1. T(0v) =0w (donde 0V es el cero de V y 0W es el cero de W).

2. T(-v) = -T(v), para todo v ε V.

3. T(u - v) = T(u) - T(v), para todo u ε V, v ε V.Las dos condiciones de la definición se pueden resumir en una sola de acuerdo con el siguiente Resultado:

Sean V y W espacios vectoriales. Una aplicación T: V W es transformación lineal si ysolo si para todo u, v 2 V y todo a, b 2 R, se tiene que T(au + bv) = aT(u) + bT(v).

Demostración:

Si T es lineal entonces

T(au + bv) = T(au) + T(bv) por la condición 1 de la definición

=aT(u) + bT(v) por la condición 2 de la definición

Por otra parte, si T(au + bv) = aT(u) + bT(v), entonces, tomando a = b = 1 tenemos

T(u + v) = T(1u + 1v) = 1T(u) + 1T(v) = T(u) + T(v)

y secumple la condición 1 de la definición. Si tomamos a = k, b = 0 tenemos

T(ku) = T(ku + 0v) = kT(u) + 0T(v) = kT(u) +0 = kT(u)

y se cumple la condición 2 de la definición. Luego, T es lineal.EJERCICIO3:









































EJERCICIO 4 :TRANSFORMACIONES LINEALES EN R2



Hallar, si es posible, una transformación lineal f : R2 R2 que verique...