Transformada de discreta de Fourier

Articulo: Transformada Discreta de Fourier DFT y Trasformada Rápida de Fourier FFT




I Resumen



Resumen—En este articulo se explicará generalizadamente la transformada discreta de Fourier y la agrupación de funciones matemáticas para resolver DFT llamada la transformada Rápida de Fourier FFT. Además se entregaran ejemplos realizados en el programa MATLAB con el fin de entender demanera mas clara el funcionamiento de la transformada discreta de Fourier.



II Palabras clave



Índice de Términos

Series de Fourier
Análisis de señales
Comportamiento frecuencial
Dominio del tiempo/Frecuencia

III INTRODUCCIÓN



La transformada discreta de Fourier es utilizada en el análisis y procesamiento de las señales, en este caso el articulo se enfocará en explicar dealguna manera el funcionamiento de esta herramienta matemática en el análisis de señales de audio, como también en el procesamiento digital de estas señales.

Para comenzar a explicar el funcionamiento de la transformada discreta de Fourier se explicará la relación que tiene la DFT con las series de Fourier, es de aclara que el principio de la transformada discreta de Fourier fue realizada enbase a los trabajos que se realizaron a partir de las series de Fourier y se evidenciará como se relacionan los procesos realizados en la serie y los procesos realizados en la transformada.

Se debe aclarar que la diferencia entre la transformada discreta de Fourier y la Transformada Rápida de Fourier FFT es clara, la DFT es la expresión o función matemática que explica la manera de analizarseñales de audio partiendo de tener la señal de audio en el dominio discreto del tiempo llegando a obtener la señal de audio en el dominio frecuencial para su análisis espectral en frecuencia, por otro lado, la FFT es simplemente un aserie de algoritmos los cuales se usan para resolver la DFT de una maneras mas sencilla, este proceso será explicado más adelante, y se realizara una ejemplo que aclararálas dudas pertinentes al tema de DFT y FFT.


IV Marco Teórico



Las necesidades que soluciona la transformada de Fourier en General comienzan desde el siglo XVIII en el análisis de las vibraciones generadas por la cuerda de un violín de D’Alembert que pretendía solucionar una ecuación diferencial que fue hallada al estudiar a fondo el comportamiento de las cuerdas de un violín.D’Alembert postulaba una ecuación similar a la ecuación trabajada por Fourier pero en este caso no se trataba de una sumatoria con un termino exponencial, D’Alembert proponía una sumatoria que involucraba la función representada en el dominio del tiempo y el producto de una función seno y coseno con el fin de hallar de alguna manera el comportamiento de la cuerda del violín. D. Bernoulli y Lagrangetrabajaron en la misma idea tomando esta señal como una señal continua en el tiempo.

En 1777 Euler postula un articulo escrito con el cual se comienzan a hacer suposiciones de los coeficientes de la serie de Fourier. “La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del calor, presentado a la Académie des Sciences en 1811 y publicado en parte como la celebre Theorieanalytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Riemann también hizo contribuciones importantes al problema.

Modernamente el análisis de Fourier ha sido impulsado por matemáticos de la talla de Lebesgue, Hardy,Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weily Weyl entre otros.” (Gonzalez)

V Herramientas



Para entender y explicar el tema de transformada discreta de Fourier se van a utilizar partes de 5 textos en PDF con el fin de explicar de manera mas correcta todos los términos, cada PDF estará referenciado en el siguiente texto.

Otra herramienta a usar serán imágenes de un video de la...