Transformada de Fourier
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
SERIES DE FOURIER
Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez
Caracas, Venezuela
Marzo 2003
Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad deCiencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg
Pr´logo
o
Estas notas fueron escritas especialmente para los Talleres de Formaci´n Matem´tica
o
a
(TForMa), auspiciadas por la Asociaci´n Matem´tica Venezolana. Han sido concebidas
o
a
como material de estudio para un primer curso de an´lisis de Fourier.
a
Se estudian los siguientes temas: Funcionesperi´dicas y series de Fourier. Condiciones
o
para la convergencia puntual y en media aritm´tica de una serie de Fourier. Convergencia
e
en media cuadr´tica de la serie de Fourier. Desigualdad de Bessel, identidad de Parseval
a
y aplicaciones. Comportamiento de las series de Fourier. Desarrollo en serie de senos y en
serie de cosenos. Aplicaci´n a la resoluci´n de ecuaciones en derivadas parciales.o
o
Los objetivos fundamentales del curso son motivar a los participantes hacia el estudio del
an´lisis arm´nico y conseguir que apliquen en forma rigurosa los t´picos que ya han estudiado,
a
o
o
tanto para comprender resultados cl´sicos, como para resolver problemas sencillos.
a
La noci´n de integral que usamos es la de Riemann, para un curso de mayor profundidad
o
ser´ necesaria laintegral de Lebesgue.
ıa
El requisito fundamental para la lectura de estas notas es un curso avanzado de c´lculo
a
diferencial e integral en una variable. M´s en detalle: los participantes deben dominar
a
las nociones b´sicas de los siguientes temas: c´lculo diferencial en una variable, integral
a
a
de Riemann unidimensional, convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones. Esrecomendable que el participante posea un m´
ınimo de conocimientos de ´lgebra lineal y
a
rudimentos de c´lculo en varias variables.
a
iii
iv
Finalmente, agradecemos a los organizadores del TForMa la oportunidad de participaci´n
o
que nos han brindado.
Ram´n Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Marzo 2003.
Contenido
Cap´
ıtulo 1. Funciones peri´dicas y series de Fourier
o1
1. Funciones trigonom´tricas
e
1
2. Polinomios trigonom´tricos
e
3
3. Per´
ıodo de una funci´n
o
5
4. Coeficientes de Fourier
6
5. Lema de Riemann-Lebesgue
12
6. Ejercicios adicionales
16
Cap´
ıtulo 2. Condiciones para la convergencia puntual y en media aritm´tica de una
e
serie de Fourier
17
1. Condici´n suficiente para la convergenciapuntual
o
17
2. Convergencia de las medias aritm´ticas
e
20
3. Ejercicios adicionales
24
Cap´
ıtulo 3. Convergencia en media cuadr´tica de la serie de Fourier
a
27
1. Media cuadr´tica
a
27
2. Aproximaci´n en media cuadr´tica
o
a
28
3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval
29
4. Aplicaci´n a sumaci´n de series num´ricas
o
o
e
31
5.Ejercicios adicionales
32
Cap´
ıtulo 4. Comportamiento de las series de Fourier
33
1. Fen´meno de Gibbs
o
33
2. Integraci´n y derivaci´n de series de Fourier
o
o
36
3. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier
40
4. Ejercicios adicionales
41
Cap´
ıtulo 5. Casos m´s generales
a
43
v
vi
CONTENIDO
1. Notaci´n compleja
o
43
2. Funciones deper´
ıodo arbitrario
44
3. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos
45
4. Ejercicios adicionales
47
Cap´
ıtulo 6. Aplicaci´n a la resoluci´n de ecuaciones en derivadas parciales
o
o
49
1. Introducci´n
o
49
2. Ecuaci´n de la cuerda vibrante
o
50
3. Ecuaci´n del calor
o
55
Bibliograf´
ıa
59
´
Indice
61
CAP´
ıTULO 1...
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