Transformada de fourier
Análisis de circuitos. Segunda parte: Sistemas lineales
Tema III: Transformada de Fourier
Enrique Sánchez, 2009 Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones enrique.sanchez@uvigo.es http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/acGDAF.html
ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Transformada de Fourier (nocionesbásicas)
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigación/acGDAF.html
Una función periódica, f(t), puede formularse como serie de Fourier mediante la expresión ∞ f(t) = a v + ∑[a k cos(kω 0 t) + bk sen(kω 0 t)]
k=1
k: número natural ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k € Un circuito sometido a una excitación periódica puede analizarsedescomponiendo la excitación en componentes armónicos, aplicando las técnicas del análisis en régimen sinusoidal permanente y el principio de superposición
enrique.sanchez@uvigo.es
Coeficientes de Fourier
1 t 0 +T0 av = ∫ f(t)dt T0 t 0 2 t 0 +T0 ak = ∫ f(t)cos(kω 0t)dt T0 t 0 2 t 0 +T0 bk = ∫ f(t)sen(kω 0t)dt T0 t 0
€
€
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Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal yComunicaciones
ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Transformada de Fourier (nociones básicas)
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Casos particulares
2 T0 / 2 av = ∫ f(t)dt T0 0 av = 0 ak = 0 4 T0 / 2 bk = ∫ f(t)sen(kω 0t)dt T0 0
Simetría par 4 T0 / 2 ⇒ ak = ∫ f(t)cos(kω 0t)dt T0 0 f(t) = f(−t) bk = 0 € Simetría de media onda T ⇒f(t) = − f t − 0 2
Simetría impar ⇒ f(t) = − f(−t)
€
4 T0 / 2 4 T0 / 2 k impar : a k = ∫ f(t)cos(kω 0t)dt, bk = ∫ f(t)sen(kω 0t)dt T0 0 T0 0
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enrique.sanchez@uvigo.es
av = 0 k par : a k = 0 = bk
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Transformada de Fourier(formulación trigonométrica, espectro)
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Ak =
2 ak
+
2 bk
f(t) = a v +
A = bk f(t) impar ⇒ k k=1 ϕ k = 90 ° € Facilita el tratamiento mediante las técnicas del régimen sinusoidal permanente € Espectro (de módulos y fases) de€ función f(t) la La serie contiene infinitos términos; los menos relevantes se eliminan con filtros
b ⇒ ϕ k= arctg k ak
k=1
∑[a k cos(kω 0t) + bk sen(kω 0t)] =
∞
∞
A = ak f(t) par ⇒ k ϕk = 0 °
= a v + ∑ A k cos(kω 0 t − ϕ k )
señal original
señal reconstruida con 8 componentes
Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones
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Transformada de Fourier(formulación trigonométrica, espectro)
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€
Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones
enrique.sanchez@uvigo.es
V 1T a v = ∫ v(t)dt = m T0 2 V 2 2 A k = a k + bk = m ∞ T 2kπ 2 kπ ⇒ v(t) = Vm + Vm cos 2kπ + 90 ° a k = ∫ v(t)cos ∑ dt = 0 ⇒ bk T0 2 k=1 kπ T T ϕ k = arctg = − 90 ° 2kπ ak V 2T bk = ∫v(t)sen dt = − m T0 kπ T
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Transformada de Fourier (formulación exponencial)
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A 1 t 0 +T0 Ck = ∫ f(t)e −jkω 0t dt = k T0 t 0 2 ∠−ϕ k f(t) = ∑Ck e jkω 0t k= −∞
∞
€
En la formulación exponencial, el orden de un armónico puede ser tanto positivo comonegativo € En la formulación exponencial, no hay componente continua El espectro de módulos en la formulación exponencial es simétrico con relación al eje de ordenadas Para armónicos de igual orden (en valor absoluto), el módulo en la formulación trigonométrica es el doble del correspondiente a la formulación exponencial
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