Transformada De Fourier

Contenido
Introducción 4
3.1Representación en series de Fourier de señales periódicas discretas 4
Combinaciones lineales de exponenciales complejas relacionadas armónicamente 4
Determinación de la representación en serie de FOURIER de una señal periódica. 6
Ejemplo 1: 8
Ejemplo 2: 9
Ejemplo 3: 10
Ejemplo 4: 12
Ejemplo 5. 15
3.2PROPIEDADES DE LA SERIE DISCRETA DE FOURIER 15Multiplicación. 16
Primera diferencia 17
Relación de Parseval para señales periódicas discretas 17
Ejemplo 1: 18
Ejemplo 2: 19
Ejemplo 3: 20
Ejemplo 4 23
Ejemplo 5 24
3.3Transformada de Fourier en tiempo discreto 25
Ejemplo 1 25
Ejemplo 2 26
Ejemplo 3 26
Ejemplo 4 28
Ejemplo 5 29
3.4 Propiedades de la transformada de Fourier discreta 32
Linealidad 32
Corrimiento enel tiempo. 32
Corrimiento en frecuencia. 33
Ejemplo 1 33
LA TRANSFORMACION DE FOURIER 35
Inversión temporal. 35
Ejemplo 2 36
Ejemplo 3 38
Convolución en tiempo discreto 39
Producto en el tiempo discreto 39
Teorema de Parseval. El caso de tiempo discreto 40
Aspecto práctico: la transformada rápida de Fourier 41
Ejemplo 4 42
Ejemplo 5 44
3.5Transformada rápida de Fourier47
Ejemplo 1 58
Ejemplo 2 61
Ejemplo 3 63
Ejemplo 4 64
Ejemplo 5 64
Referencias 67

Introducción
La representación y el análisis de los sistemas LTI mediante la suma de convolución, se basa en la representación de señales como una combinación lineal de impulsos desplazados. En éste caso se explorara una representación alternativa para señales y sistemas LTI. El punto de partida paranuestro análisis es el desarrollo de una representación de señales como combinaciones lineales de un conjunto de señales básicas. Para llevar a cabo esta representación alternativa usamos las exponenciales complejas. Las representaciones resultantes se conocen como la serie y la transformada de Fourier de tiempo continuo y de tiempo discreto. Éstas se pueden usar para construir una amplia y útilclase de señales.
Debido a la propiedad de superposición, la respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada que consista en una combinación lineal de señales básicas es la misma combinación lineal de las respuestas individuales a cada una de dichas señales básicas. Hasta ahora todas estas respuestas han sido las versiones desplazadas de la respuesta al impulso unitario, lo cual conducía a lasuma o a la integral de convolución. la respuesta de un sistema LTI a una exponencial compleja también tiene una forma particularmente sencilla, la cual nos proporciona otra representación conveniente para los sistemas LTI. En este apartado dirigimos nuestra atención a la representación de las señales periódicas discretas conocidas como la serie de Fourier. [ref.3]

3.1Representación en series deFourier de señales periódicas discretas

En particular, la representación en serie de Fourier de una señal periódica discreta es una serie finita, opuesta a la representación de la serie infinita requerida para señales periódicas continuas.

Combinaciones lineales de exponenciales complejas relacionadas armónicamente

Una señal discreta x[n] es periódica con periodo N si

x[n] = x[n+N].ec. 1

El periodo fundamental es el entero positivo N más pequeño para el cual la ecuación 1 se cumple, y wo =2π/N es la frecuencia fundamental. Por ejemplo. La exponencial compleja ej(2π/N)nes periódica con periodo N. Además, el conjunto total de las señales exponenciales complejas discretas que son periódicas con periodo N está dado por:∅kn=ejkω0n=ejk(2π/N)n, k=0,±1,±2,…. ec. 2

Todas estas señales tienen frecuencias fundamentales que son múltiplos de 2π/N y por tanto están relacionadas armónicamente.
Hay sólo N señales distintas en el conjunto dado por la ecuación 2. Esto es una consecuencia del hecho de que las exponenciales complejas discretas que difieren en frecuencia por un múltiplo de 2π son idénticas....