Transformada de hilbert

Transformada de Hilbert y Se˜ales Pasobanda n
Sistemas Lineales. Curso 2004/05

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Definici´n o

La transformada de Hilbert es util para calcular el contenido en frecuencia de una se˜al ´ n de energ´ o de potencia. As´ se pueden analizar y dise˜ar filtros selectivos en frecuencia ıa ı n para poder separar se˜ales seg´n su contenido en frecuencia. Este proceso se denomina n u discriminaci´nen frecuencia. o Otro criterio para separar se˜ales es el que est´ basado en la selectividad en fase, o n a tambi´n llamado discriminaci´n en fase, que desfasa las se˜ales pertinentes de modo e o n que se puedan separar f´cilmente. El caso m´s sencillo consiste en desfasar una se˜al 1800 , a a n lo que se consigue invirtiendo la polaridad o multiplicando por −1. El desfasar todas las componentes1800 requiere el uso de un transformador ideal. Otro desfase de inter´s es el de ±900 . En particular, cuando las componentes angulares e de una se˜al han sido desfasadas ±900 , la funci´n resultante se denomina transformada n o de Hilbert de la se˜al. n Sea g(t) una se˜al cuya transformada de Fourier es G(f ). La transformada de Hilbert n de g(t) que se denota por g (t) viene dada por la ecuaci´n(1). Claramente se puede ver ˆ o que la transformada de Hilbert es un operador lineal. g (t) = ˆ 1 π
∞ −∞

g(τ ) dτ t−τ

(1)

Es una integral impropia, puesto que para t = τ el integrando tiene una singularidad. Para evitar este problema se supone que se calcula la integral de forma sim´trica en torno e a t = τ seg´n la ecuaci´n (2). u o
∞ −∞

g(τ ) dτ = lim →0 t−τ

t− −∞

g(τ ) dτ +t−τ

∞ t+

g(τ ) dτ t−τ

(2)

La transformada inversa de Hilbert puede calcularse mediante la ecuaci´n (3). g(t) y o g (t) se dice que constituyen un par transformado de Hilbert. ˆ g(t) = − 1 π
∞ −∞

g (τ ) ˆ dτ t−τ

(3)

De la definici´n de la transformada de Hilbert se puede deducir que g (t) se puede o ˆ interpretar como una convoluci´n, seg´n la ecuaci´n (4). o u o g (t) = g(t) ∗ˆ 1 πt (4)

1 Puesto que la transformada de Fourier de πt es −j sgn(f ), a partir de la propiedad de convoluci´n en el dominio del tiempo de la transformada de Fourier, la transformada de o ˆ Fourier de g (t) denotada por G(f ) va a venir dada por la ecuaci´n (5). ˆ o

ˆ G(f ) = −j sgn(f )G(f )

(5)

1

fase de H(f)

90º f −90º

Figura 1: Respuesta en Fase del Sistema Transformadorde Hilbert. Por lo tanto se puede calcular la transformada de Hilbert de una se˜al g(t) haci´ndola n e 1 o pasar por un sistema LTI con respuesta al impulso πt o con funci´n de transferencia −j sgn(f ). Este sistema introduce un desfase de −900 para frecuencias positivas y 900 para frecuencias negativas. En la figura 1 puede verse la respuesta en fase de este sistema. La amplitud a la salida deeste sistema no queda modificada a ninguna frecuencia. Este sistema ideal se denomina transformador de Hilbert y tiene muchas aplicaciones importantes como: 1. Se puede utilizar para tener selectividad en fase para un tipo especial de modulaci´n o en amplitud denominado modulaci´n en banda lateral unica o SSB. o ´ 2. Proporciona la base matem´tica necesaria para representar se˜ales paso banda. a n Latransformada de Hilbert se puede aplicar a cualquier se˜al que tenga transformada n de Fourier y por lo tanto a se˜ales de potencia y de energ´ de las usadas en sistemas de n ıa comunicaciones.

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2.1

Propiedades de la Transformada de Hilbert.
Propiedad 1.

Una se˜al g(t) y su transformada de Hilbert g (t) tienen la misma densidad espectral. n ˆ Para probarlo, se puede observar que latransformada de Fourier de g (t) es −j sgn(f ) ˆ multiplicado por G(f ), pero como la amplitud de −j sgn(f ) es unidad, entonces g(t) y ˆ g (t) tienen la misma amplitud en frecuencia |G(f )| = |G(f )|. De aqu´ se sigue que como ˆ ı la densidad espectral solo depende de la amplitud de la transformada de Fourier, si g(t) es una se˜al de energ´ g (t) y g(t) tendr´n la misma densidad espectral de...