Transformada de la place

Apuntes de ECUACIONES DIFERENCIALES de José María Amigó

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SESIÓN 15: LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
En esta sesión concluimos el estudio de la transformada de Laplace y de las funciones de variable compleja. Que el plano complejo es el lugar adecuado para estudiar la transformada de Laplace lo demuestra el hecho de que su inversa se calcula, en general, mediante residuos, como veremosa continuación.

1.

La transformada inversa

Teorema 1 (Teorema de unicidad) Supongamos que f y g son dos funciones conti~ nuas en [0; 1) tales que f (z) = g (z) en el semiplano Re z > a: Entonces f (t) = g(t) ~ para 8t 2 [0; 1): El teorema de unicidad se puede extender al caso de funciones con discontinuidades, pero entonces hay que modi…car el concepto de igualdad de funciones en elsentido de la teoría de integración: dos funciones que sólo se diferencien en un conjunto de puntos de medida nula (por ejemplo, en un conjunto …nito o in…nito numerable) se consideran iguales. El teorema de unicidad implica que la transformada de Laplace es inversible: Dada una función h(z) en el rango de la aplicación L, existe una y sólo una función de orden ~ exponencial f tal que f (z) = h(z): ~De…nición 1 Si f (z) = F (z) en el semiplano fz : Re z > ag; decimos que f (t) es la transformada inversa (o antitransformada) de Laplace de F (z) y la denotamos por f = L 1 [F ] o f (t) = L 1 [F (z)]:

En la práctica, la transformada inversa de Laplace de una función dada se suele buscar en tablas: las mismas tablas que proporcionan por cálculo directo la transformada de Laplace de las funcionesusuales, pueden servir (eventualmente con la ayuda de las propiedades de L) para hallar la inversa deseada. No obstante, existe una fórmula lo su…cientemente general como para poder calcular transformadas inversas de forma sistemática en la mayoría de los casos. Teorema 2 (Inversión de la transformada de Laplace) Sea F (z) una función analítica en C excepto en un número …nito de singularidadesaisladas z1 ; :::; zn y supongamos que existe 2 R tal que F es analítica en el semiplano fz : Re z > g. Supongamos además que existen tres constantes positivas M; ; R tales que jF (z)j M= jzj cuando jzj > R. Para t 0 sea n X f (t) = Res F (z)ezt ; zj : (1)
j=1

~ Entonces f (z) = F (z) para Re z > : Además, si F tiene una singularidad en la recta Re z = ; la abscisa de convergencia de f es :Apuntes de ECUACIONES DIFERENCIALES de José María Amigó

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Prueba. Sea s > y consideremos un rectángulo con lados a lo largo de las rectas Re z = x1 ; Re z = x2 ; Im z = y2 y Im z = y1 ; lo su…cientemente grande para que todas las singularidades de F estén dentro de y jzj > R sobre : Dividamos mediante la recta vertical Re z = s en la suma de dos contornos (a la izquierda) y ~ (a la derecha):Como todas las singularidades de F quedan en el interior de ; el teorema del residuo y la de…nición de f implican Z n X zt F (z)e dz = 2 i Res F (z)ezt ; zj = 2 if (t);
j=1

así que ~ 2 if (z) = = lm F ( )e t d e zt dt 0 Z r Z e( z)t dt d ; F( ) lm
0

r!1

Z

r

Z

r!1

donde hemos podido intercambiar el orden de integración debido a que ambas integraciones se realizan sobreintervalos …nitos. Por tanto Z e( z)r 1 ~(z) = l m 2 if F( ) d : r!1 z Con z …ja en el semiplano Re z > s; el término e( z)r converge a 0 cuando r ! 1 y el integrando converge uniformemente a F ( )=( z) sobre : Obtenemos, Z Z Z F( ) F( ) F( ) ~ 2 if (z) = d = d d z z z ~ Z F( ) = 2 iF (z) d ; z suponiendo que Finalmente, es lo su…cientemente grande para que z esté en el interior de ~ . Z F( ) d z Z Mjzj j zj jd j 2 M ; ( R)

que se obtiene con fuera del círculo j j = > R que contiene todas las singularidades de F ( )=( z) y luego deformando (en virtud del principio de deformación de contornos) a este círculo. La integral anterior tiende, por tanto, a 0 cuando ! 1, ~ con lo cual f (z) = F (z) para todo z con Re z > y (f ) : Supongamos, …nalmente, que F tiene una singularidad en la recta Re...