Transformada De Laplace 1


LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

(apuntes escritos por Dr. Manuel Pargada)




1. INTRODUCCIÓN



Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x) cumpliendo condiciones
adecuadas en I=[a,b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo :


La operación D de derivación : D
f ( x)
f ( x)
x
La operación I de integración :
I f ( x )
f ( t )d t
a
La transformación Mgdefinida por : M g f (x )

siendo g(x) una función concreta.
g ( x )
f ( x )



En cada caso, hay que asignar alguna restricción a las funciones f(x) a las que se aplica una transformación dada. Así, en el primer ejemplo, f(x) debe ser derivable en un cierto intervalo, etc.


Las tres transformaciones citadas son lineales, es decir, que verifican :


T c1
f1 ( x )
c2 f 2 ( x )
c1T
f 1( x )
c2T
f 2( x )
c1 , c2


Una clase importante dentro de las transformaciones lineales, son las llamadas transformaciones integrales. Se consideran las funciones f(x) definidas en un intervalo finito o infinito a x b y se escoge una función fija K(s,x) de la variable x y el parámetro s. Entonces la correspondiente transformada integral está dada por :


T [ f ( x )] = b K( s, x ) f ( x )d x = F(s )
a


La función K(s,x) se llama núcleo de la transformación T. Se muestra fácilmente que T es lineal, cualquiera que sea la K(s,x).
En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales, adaptadas a la resolución de diversos problemas : transformada de Fourier, transformada de Fourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.


Setrata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada para simplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada en teoría de circuitos.


Antes de entrar en sus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada de
Laplace así comosus propiedades fundamentales y más útiles.




2. DEFINICIÓN Y TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES




Definición



Sea f(t) definida en ( 0 , ¥ ). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral


L[ f ( t )] = ¥ e -st
0

f ( t )d t = F( s )

[1]


Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir,deberá ser convergente para ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformada de Laplace de f(t), o que f(t) es - transformable.


Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campocomplejo, considerando a s como complejo.



Ejemplo 1: Sea f(t) = 1 , t ³ 0

st s
1 e st

1 d t

lim e
st d t
lim e lim 1 e
0 0 s s s
0
1 1 , s 0
s

pues la integral diverge para s 0


Nota Si fuese complejo s, es decir, s s1
i s2 , entonces
e st
e (s1
i s2 ) t
e s1 t
cos s t
i sen s t
y la integral impropia anterior sólo converge si s1
2 2

> 0 , es decir Re (s) > 0.



Ejemplo 2: Seaf(t) = eat , t ³ 0


e at
e st
eat dt
e (s a )t dt
Es el caso anterior cambiando s por s - a.
0 0

Luego:


eat 1 , s a s a



Ejemplo 3: Sea f(t) = t a , a Î R , t ³ 0




t a e st t a d t
0

Cambio: st = x . Entonces: t = x s
, d t d x y
s

t a 1 e
sa 1 0

x xa d x


Luego:

G (a 1)
t a
sa 1
si s 0 a 1



En particular :


tn n!
sn 1

s 0 n N
t 1 s 0
s2
1 1, s 0
s




Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at t ³ 0



cos at e st
0
cos at dt
= Integrando dos veces por partes


cos at s
s2 a 2

, s 0 Análogamente :
L s i n at
a
,s 0
s 2 a2

Podría obtenerse mejor así : Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a

), resulta:

ei at

1 , para Re (s - ai) > 0 , es decir s > 0 si s es real.
s a i

Por tanto: ei at s a...