Transformada de laplace.matematica 3

1.- DEFINA PROPIEDAD DE LINEALIDAD.
La linealidad es una propiedad matemática que poseen algunas funciones. Esta propiedad suele estudiarse dentro del contexto del álgebra lineal. En este contexto, se dice que una aplicación de un espacio vectorial E en otro F es lineal si cumple la siguiente propiedad:
f (k .u k .u ) k . f (u ) k . f (u )
en donde u, r son elementos del espaciovectorial E, y k son constantes arbitrarias. Esta definición permite unificar el tratamiento de entes tan diversos como funciones de una o varias variables, de operaciones como la derivación y la integración, y de ecuaciones diferenciales entre otros.
La propiedad de linealidad está asociada al concepto de espacio vectorial, conjuntos en los que se definen dos operaciones, una interna (suma de vectoresx+y\;) y otra externa (multiplicación por un escalar λx, en la que λ pertenece a un conjunto externo), de ahí que la propiedad de linealidad se exprese referida a estas dos operaciones.
Para comprobar la linealidad de una función f (x)\; no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que f (a x + b y) = a f (x) + b f (y)\; lalinealidad queda demostrada.
2.- ¿QUE ES LA TRANSFORMADA INTEGRAL?.
Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:
T ( f(t) ) = \int_{t_1}^{t_2} K(u,t)\, f(t)\, dt = F(u)
La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t1y t2 son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde + hasta -.
3.- DEFINA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integralimpropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales.
Sea f una función definida para f(t) = 0 para t < 0 , la transformada de Laplace de f(t) se define como:
Cuando tal integral converge.


Hay numerosas transformadas integrales útiles.Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K − 1(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)\, T ( f(t) )\, du.



4.- ESCRIBA UNA TABLA DE ALGUNAS TRANSFORMADAS DE FUNCIONES BÁSICAS.5.- DEFINA ORDEN EXPONENCIAL.
FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Decimos que la función es de orden exponencial si existen números , y tales que:

para .
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.

Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcularel siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.
6.- CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA.

Las Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para s >  de una función cualquiera:
1. Estar definida yser continua a pedazos en el intervalo [ O, + .
2. Ser de orden exponencial  .
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA.
Sea y: [0,+  →R una función continua a trazos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de y(t) existe.Existe un numero s0 talque y(s) = L  y(t)  exista para s > s0.
Demostración:

Por f de orden exponencial existen numeros no negativos T,...