Transformada de laplace

1.

Transformada de Laplace

Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no homogénea una función f (t) que no es continua. El análisis de estos problemas es más sencillo cuando se utiliza el método de la transformada de Laplace.

1.1.

Definición de la Transformada de Laplace

Definition 1 (Transformada deLaplace) Sea f (t) una función con dominio en [0, ∞). La Transformada de Laplace de f (t) es la función F (s) que se obtiene como sigue Z ∞ F (s) := f (t) e−st dt (1)
0

Nótese que F (s) es una función en la variable s cuyo dominio consta de todos los valores de s para los cuales la integral (1) existe es decir es convergente. Además (1) es una integral impropia, por lo que Z n Z ∞ −st f (t) e dt= l´ ım f (t) e−st dt (2)
0 n→∞ 0

lo cual restringe las funciónes f (t) que para las cuales puede existir transformada de Laplace. Notation 2 La transformada de Laplace de una función cualquiera se denota utilizando la letra mayúscula correspondiente a la función Transformada o utilizando notación de operadores como L {.}; por ejemplo la transformada de Laplace de una función g (t) sedenotaría como G (s) o L {g} (t). Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una función, si es que esta tiene, nos la proporciona la definición, es decir que si tenemos una función f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando la integral dada en (1) o en forma equivalente (2) como en los siguientes ejemplos: Example 3 Determine la transformada de Laplace de lassiguientes funciones: 1. f (t) = et Solution 4 Utilizando la definición F (s) = = = Z
∞ ∞

f (t) e−st dt et e−st dt

Z

0

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que ³ ´ ³ ´ ım l´ ım 1 − e−n(s−1) = l´ (1) − l´ ım e−n(s−1)
n→∞ n→∞ n→∞

e−t(s−1) dt Z n e−t(s−1) dt = l´ ım n→∞ 0 µ ¶ 1 − e−n(s−1) = l´ ım n→∞ s−1 ³ ´ 1 l´ ım 1 − e−n(−1+s) = s − 1 n→∞
0

Z0 ∞

1

dedonde
n→∞

l´ (1) = 1 ım ³ ´ e−n(s−1) = 0

y
n→∞

l´ ım

siempre y cuando s > 1, de otra manera este límite no existiría. Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et es F (s) = 2. g (t) = 3 Solution 5 Utilizando la definición G (s) = = Z
∞ ∞

1 s−1

g (t) e−st dt 3e−st dt

Z

0

0

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que ¡ ¢ ¡ ¢ ım ım e−ns l´ ım1 − e−ns = l´ (1) − l´
n→∞ n→∞ n→∞

e−st dt Z n e−st dt = 3 l´ ım n→∞ 0 µ ¶ 1 − e−ns = 3 l´ ım n→∞ s ¡ ¢ 3 l´ ım 1 − e−ns = s n→∞ = 3
0

Z

∞

de donde y

n→∞

l´ (1) = 1 ım

n→∞

Por lo tanto la transformada de Laplace de g (t) = 3 es

siempre y cuando s ≥ 0, de otra manera este límite no existiría. G (s) = 3 s

¡ ¢ l´ ım e−ns = 0

3. h (t) = sin (3t) Solution 6Utilizando la definición Z ∞ h (t) e−st dt H (s) = 0 Z ∞ sin (3t) e−st dt = 0 ¶n µ s 3 −st −st e cos (3t) − 2 e sin (3t) = l´ ım − 2 n→∞ s +9 s +9 0 ¡ −st ¢n 1 l´ ım 3e cos (3t) − se−st sin (3t) 0 = − 2 s + 9 n→∞ ¡ ¢ 1 l´ ım 3e−sn cos (3n) + se−sn sin (3n) − 3 = − 2 n→∞ s +9 2

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que ¡ ¢ l´ ım 3e−sn cos (3n) + se−sn sin (3n) − 3 =
n→∞

¡ ¢ l´ım 3e−sn cos (3n) ¡ ¢ + l´ ım se−sn sin (3n)
n→∞ n→∞ n→∞

− l´ (3) ım

de donde l´ (3) = 3 ım n→∞ ¡ −sn ¡ ¢ ¢ l´ ım 3e cos (3n) = 3 l´ ım e−sn cos (3n) = 0
n→∞ −sn n→∞

n→∞

) = 0 siempre y cuando s ≥ 0. Finalmente ya que cos (3n) es una función acotada y l´ n→∞ (e ım ¡ −sn ¡ ¢ ¢ l´ ım se sin (3n) = s l´ ım e−sn sin (3n) = 0
n→∞

Por lo tanto la transformada de Laplace de h (t) = sin(3t) es H (s) =

siempre y cuando s ≥ 0 ya que sucede algo similar que en la función anterior. 3 s2 + 9

1.2.

Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace

Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una función. Definition 7 (Orden...