Transformada de laplace

Transformada de laplace:

Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como:
L { f (t) } = F(s) = ∫ e-st f(t)dt

* AlgunasPropiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) f2(t) } = F1(s) F2(s)

2.Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) esel límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
t 0
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para lasderivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0)
4. Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:s
t 0
Lím f(t) = Lím s F(s) , Si el límite existe.
* Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:

| f(t) | L {f(t)} = F(s) |
1 | K | k/s |
2 | t | 1/s2 |
3 | tn |n!/sn+1 |
4 | eat | 1/ s-a |
5 | sen at | a/ s2 + a2 |
6 | cos at | s/ s2 + a2 |
7 | senh at | a/ s2 - a2 |
8 | cosh at | s/ s2 - a2 |

* Ejercicio Resuelto:

Hallar laTransformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla:
f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

Aplico Transformada de Laplace:
L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 }(1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } +L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4...