Transformada de laplace

Transformada de Laplace
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Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación).
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando se habla de latransformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Contenido
[1 Perspectiva histórica
• 2 Propiedades
o 2.1 Linealidad
o 2.2Derivación
o 2.3 Integración
o 2.4 Dualidad
o 2.5 Desplazamiento de la frecuencia
o 2.6 Desplazamiento temporal
o 2.7 Desplazamiento potencia n-ésima
o 2.8 Convolución
o 2.9 Transformada de Laplace de una función con periodo p
o 2.10 Condiciones de convergencia
• 3 Tabla de las transformadas de Laplace selectas
• 4 Relación con otras transformadas
• 5 Véase también
• 6 Enlaces externosPerspectiva histórica
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange,admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integralescomo soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

— análoga a la Transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en unaecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de Series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace prontocayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surgen en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Tratando de resolver ecuaciones diferencialesrelacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:
(D − a)y = f(t)
— donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dichaecuación es de la forma:
.
Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:
y'' − 3y' + 2y = et
— ésta puede reescribirse en para...