Transformada de Laplace

Transformada de Laplace
Capítulo II: Transformada de Laplace.

Asignatura

Redes Eléctricas II
Carrera:

Ingeniería Civil Eléctrica
Profesor
Víctor Paredes González

Capítulo II: Transformada de Laplace.
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte
de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la
transformada de Hilbert, y latransformada de Mellin entre otras. Estas
transformadas están definidas por medio de una integral impropia y
cambian una función, en una variable de entrada, en otra función en
otra variable.

f (t )

�

∞

−∞

Función f en la
variable t

e − st � f ( t ) � dt
�
�

Transformación

F (s)
Función F en la
variable s

Transformada de Laplace
Capítulo II: Transformada de Laplace.Transformada de Laplace
Ejemplos

Asenω t

�

∞

e

− st

A

[ Asenωt ] dt

−∞

dy ( t )
A
+ By ( t ) = P
dt

�

∞

e − st [% ] dt

ω
s + ω2
2

As 2 + Bs =

−∞

P
s

Capítulo II: Transformada de Laplace.
Definición: Transformada de Laplace
La transformada unilateral de Laplace de una función real, de una variable,
f (t) se define por la expresión:

F( s ) �� � f ( t ) � =
�
�

�

∞

e

− st

f ( t ) u ( t ) dt =

−∞

∞

�e
0

−

− st

f ( t ) dt
− st

� Donde F(s) denota la Transformada de Laplace de f (t); e
es una
exponencial compleja, cuya potencia st, es adimensional, con t, variable
tiempo, en segundos y s, variable frecuencia, en 1/seg. = Hertz.
� s es también una variable compleja y es igual a:

s = σ+ jω = σ + j 2π f ;

Re [ s ] = σ ;

Im [ s ] = ω ;

j = −1

Transformada de Laplace
Capítulo II: Transformada de Laplace.
Definición: Transformada de Laplace
� El símbolo � representa el proceso de transformación y se lee “ La
transformada de Laplace de ….”
� El plano complejo sobre el cual varía s se conoce como “el dominio s”
� La transformada de Laplace se denominatransformada unilateral dada su
evaluación de la integral desde 0 a �.
� La integral de la definición de la transformada de Laplace se toma con el
límite inferior en t = 0- con el objeto de incluir el efecto de cualquier
discontinuidad en t = 0. tal como un impulso o alguna otra singularidad de
orden superior.
� La Transformada de Laplace tiene sentido si la integral converge.

�

∞

0

−

�e− st f ( t ) dt =

∞

0

−

e −σ t e − jωt f ( t ) dt < ∞

Capítulo II: Transformada de Laplace.
Definición: Transformada de Laplace. (Cont.)

�

e − jωt tiene magnitud unidad;

∞

0−

e −σ t f ( t ) dt < 0

Si las funciones f(t) son de orden exponencial tal que f ( t ) < Aeσ 0 t entonces

�

∞

0

−

e−σ t f ( t ) dt <

�

∞

0

∞

Aeσ 0t e −σ t dt=
−

La integral anterior converge para σ − σ 0 > 0

�e
0

�

− (σ −σ 0 )t

dt

−

σ > σ0

El rango de valores de la variable s para la cual la integral converge, se
denomina la región de existencia o la región de convergencia.

Transformada de Laplace
Capítulo II: Transformada de Laplace.
Cálculo de la transformada de Laplace.
La obtención de la Transformada de Laplace,de f(t), de acuerdo con la
definición anterior, se realiza en dos pasos:
con s = σ
a) Se multiplica f(t) por el término exponencial e
Nótese que tanto el exponente –st como el exponencial son
adimencionales.
− st

+ jω

b) Se realiza la integral definida de la función resultante respecto de t
desde t = 0- hasta t = �. Al resolver la integral definida, la variable t
no aparece en elresultado, obteniéndose una función única de s,
denominada F(s).
F(s) es la transformada de Laplace de f(t). Análogamente, utilizaremos V(s)
como la transformada de v(t), I(s) para i(t), etc.

Capítulo II: Transformada de Laplace.
Cálculo de la transformada de Laplace.
Transformada de Laplace de la función escalón unitario f ( t ) = u ( t )
Para encontrar la TL del escalón se
adecúa...