Transformada de laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x) cumpliendo condiciones adecuadas en I= [a, b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo:
Laoperación D de derivación: D [f(x)]=f’(x)
La operación I de integración: I [f(x)]= ∫axf (t) dt
La transformación Mg definido por: Mg [f(x)]= g(x) f(x) siendo g(x) una función concreta.
En cadacaso, hay que asignar alguna restricción a las funciones f(x) a las que se aplica una transformación dada. Así, en el primer ejemplo, f(x) debe ser derivable en un cierto intervalo, etc.
Una claseimportante dentro de las transformaciones lineales, son las llamadas transformaciones integrales. Se consideran las funciones f(x) definidas en un intervalo finito o infinito a≤ x ≤b y se escoge unafunción fija K(s, x) de la variable x y el parámetro s.
Entonces la correspondiente transformada integral está dada por:

La función K(s, x) se llama núcleo de la transformación T. Se muestrafácilmente que T es lineal, cualquiera que sea la K(s, x).
En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales, adaptadas a la resolución de diversos problemas:transformada de Fourier, transformada de Fourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.
Se trata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada parasimplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada en teoría decircuitos.
Antes de entrar en sus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada de Laplace así como sus propiedades fundamentales y más útiles.
Sea f (t) definida en (0, ∞). Se define latransformada de Laplace de f (t), como la función [f (t)] = F(s), definida por la integral

Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá ser convergente...