Transformada de Laplace

Tema 1

La transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un m´todo de gran utilidad en la soluci´n de ecuaciones diferenciales ya
e
o
que se sustituye un problema de valores iniciales por un problema algebraico. Adem´s tiene la ventaja
a
de incluir las condiciones iniciales y as´ los problemas de Cauchy o de valores iniciales se resuelven
ı
de forma m´s directa. Esta t´cnica esespecialmente util cuando el t´rmino independiente presenta
a
e
´
e
discontinuidades de salto finito.

1.1

Definici´n
o

La transformada de Laplace es un operador que act´a sobre funciones para dar lugar a otras funciones
u
usando integrales impropias.
Definici´n 1.- Sea f (t) una funci´n definida en [0, ∞). La transformada de Laplace de f (t) es la
o
o
funci´n F (s) definida en laforma
o
∞

L{f (t)}(s) = F (s) =

e−st f (t)dt.

(1.1)

0

Tambi´n se puede denotar la transformada de Laplace de la funci´n f (t) en las formas L{f (t)},
e
o
L{f } o incluso L{f }(s); es decir, omitiendo las variables independientes t o/y s.
N´tese que (1.1) es una integral impropia que est´ definida por
o
a
∞
0

x

e−st f (t)dt = lim

x→∞

e−st f (t)dt

0

siempreque el l´
ımite exista.
Ejercicio 2.- Calcular, aplicando la definici´n, las siguientes transformadas de Laplace
o
1. L{1}.
2. L{t}.
3. L{e−3t }.
Vamos a estudiar algunas condiciones suficientes que garantizan la existencia de la transformada
de Laplace.
Recordamos la definici´n de funci´n continua a trozos en un intervalo [a, b]: funci´n continua salvo
o
o
o
un n´mero finito dediscontinuidades de salto finito, que puede ser extendida a un intervalo infinito:
u
Definici´n 3.- Se dice que una funci´n f (t) es continua a trozos en [0, ∞) si f (t) es continua a
o
o
trozos en cada intervalo acotado [a, b] (b finito).
Definici´n 4.- Se dice que una funci´n f : [0, ∞) −→ I es de orden exponencial c si existen t0 y
o
o
R
M > 0 tales que
|f (t)| ≤ M ect , si t ≥ t0 .
Matem´ticasIII
a

1

ma

1.2 Transformadas de Laplace inmediatas, linealidad y traslaci´n
o

Se dice que ”f (t) es de orden exponencial” para indicar que para alg´n valor de c, la funci´n f
u
o
ct . Veamos
cumple las condiciones de la definici´n anterior, es decir, f (t) no crece m´s r´pido que M e
o
a a
2
que la funci´n et no es de orden exponencial. Como para cualquier c, se tiene
o
2et
2
lim ct = lim et −ct = +∞,
t→∞
t→∞ e
2

et crece m´s r´pido que ect para cualquier c.
a a
Estamos ahora en condiciones de dar el siguiente
Teorema 5.- Sea f : [0, ∞) −→ IR continua a trozos en [0, ∞) y de orden exponencial c. Entonces
∞

(a) Existe F (s) =

e−st f (t)dt para s > c.

0

(b)

1.2

lim F (s) = 0.

s→+∞

Transformadas de Laplace inmediatas, linealidad ytraslaci´n
o

Obviamente no es preciso utilizar siempre la definici´n para calcular transformadas de Laplace. En
o
la pr´ctica se dispone de una tabla donde aparecen las transformadas de Laplace para determinadas
a
funciones, las cuales podemos considera ”inmediatas”:
Transformadas de Laplace ”inmediatas”
F (s) = L{f (t)}(s)

f (t)

1
s

1
tn ,

n = 1, 2, 3, · · ·

n!
sn+1
πs

t−1/2

1
s−a

eat
sen(bt)
cos(bt)
senh(bt)
cosh(bt)

b
+ b2
s
2 + b2
s
b
2 − b2
s
s
2 − b2
s
s2

La posibilidad de obtener transformadas de Laplace a partir de esta tabla se amplia utilizando el
siguiente
Teorema 6.- (Linealidad de la transformada de Laplace) Sean f1 (t) y f2 (t) funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s > α, y sea c una constante.Entonces para s > α
L{f1 (t) + f2 (t)} = L{f1 (t)} + L{f2 (t)},
L{cf1 (t)} = cL{f1 (t)}.
Matem´ticas III
a

2

ma

1.3 Transformada inversa de Laplace

Ejercicio 7.- Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:
1. f (t) = 4e2t + 3e−4t + 2t4 + 3.
2. f (t) = 3 senh(2t) − 4 cos(3t) + 2 sen(4t).
Adem´s se cumple el siguiente teorema que facilita la obtenci´n de...