Transformada De Laplace

INVESTIGACION 1
Establecer un panorama general de la transformada de Laplace; mencione su principal aplicación. Investigue la definición formal de la transformada de Laplace. Determine cuales son las condiciones suficientes para que la transformada de Laplace exista. Consulte y obtenga una copia de una tabla de transformadas de Laplace de funciones básicas. Investigue como se determina latransformada de Laplace de una función definida por tramos. Investigue como se define una función escalón unitario y como se obtiene su transformada de Laplace. Investigue la propiedad de linealidad y el primer teorema de traslación de la transformada de Laplace.

3.1 Definición de la transformada de Laplace.

Sea f una función definida para [pic]. Entonces se dice que la integral

£[pic]

esla transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral.

Cuando la integral de esta definición converge, el resultado es una función de s.

£[pic]
La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante.

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace.

3.3 Transformada de Laplace de funciones básicas.PARA RESOLVER EN CLASE

1.- Evalúe £[pic], RES: [pic]
2.- Evalúe £[pic], RES: [pic]
3.- Evalúe £[pic], RES: [pic]
4.- Evalúe £[pic], RES: [pic]


TAREA 1
1.- Evalúe £[pic], RES: [pic]













3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

1.- Evalúe £[pic], donde [pic]

Solución:

La función f es continua por partes. Puesto que f se define endos partes, £[pic] se expresa como la suma de dos integrales:

£[pic]

TAREA 2

1.- Evalúe £[pic], donde [pic] RES: [pic]

3.5 Función escalón unitario.

En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después decierto tiempo.

Así, es conveniente definir una función especial que es el número 0 (desactivada) hasta un cierto tiempo t = a y luego el número 1 (activada) después de ese tiempo. La función se llama función escalón unitario o función de Heavisade.

DEFINICION: La función escalón unitario [pic] se define como:

[pic]




Cuando una función f definida para [pic] se multiplica por [pic],la función escalón unitario “desactiva” una parte de la gráfica de esa función.

Por ejemplo, si consideramos la función:[pic]. Para “desactivar” la porción de la gráfica de f en el intervalo [pic], simplemente se forma el producto [pic].












En general, la gráfica de [pic]es 0 (desactivada) para [pic] y es la parte de la gráfica de f (activada) para [pic].

La funciónescalón unitario también se puede usar para escribir funciones definidas por partes en una forma compacta.

Por ejemplo, si consideramos los intervalos [pic], [pic] y los valores correspondientes [pic] y [pic], debe ser evidente que la función definida por partes mostrada en la figura sea lo mismo que [pic].


También, una función definida por partes general del tipo:

[pic]

Es lo mismoque:
[pic]

De manera similar, una función del tipo:

[pic]

Se escribe como:
[pic]

PARA RESOLVER EN CLASE

1.- Exprese [pic] en términos de funciones escalón unitarias.

RES: [pic]

3.5.1 Transformada de Laplace de la función escalón unitario.

Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace de solo una función escalón unitario. Esto se lleva a cabo mediante:

£[pic]PARA RESOLVER EN CLASE
1.- Calcular la transformada de Laplace de la función cuya grafica se presenta a continuación:





Solución:
La función f(t) puede escribirse como: [pic]

Por lo tanto, la transformada de Laplace de f(t) será:

£[pic][pic][pic]£[pic][pic]£[pic][pic]£[pic][pic]

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación).

No es...