Transformada de LaPlace
CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Material de apoyo
MATEMÁTICAS V
UNIDAD
NOMBRE
TEMAS Y SUBTEMAS
III
Transformadas de Laplace
3.2 Condicionessuficientes de existencia para la transformada de Laplace
3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace.
Teorema [Existencia de la transformada]
Sea unafunción continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .
Demostración
Por ser de orden exponencial existennúmeros no negativos , y tales que , para . Así que
La primera integral
es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que
Ahora, como
siempre y cuando , tenemos que la integral
existe y con ello la transformada.
Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existenciade la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.
EjemploCompruebe que la transformada
existe, aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.
Solución
Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no escontinua a trozos en el intervalo ; pero
Para calcular esta última integral sea
con lo cual
Ahora note que
Figura 1.4
Donde es el cuadrado delado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces
Con lo cual, tomando el límite
Y así, . Por lo tantoEl siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.
Ejemplo
Compruebe que
no existe.
Solución
Usando la definición
Y...
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