Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

la transformada de Laplace es un a herramienta fundamental para el análisis de sistemas lineales invariantes, como por ejemplo redes y circuitos eléctricos, no tiene aplicación en sistemas variantes y /o no lineales

La transformada de Laplace es un operador matemático que toma una función lineal e invariante en el dominio del tiempo f(t) y la transforma en unafunción F(s) que toma la forma de un cuociente de polinomios en termino del parámetro s ( denominada como frecuencia compleja s )


Dada una función transformable f(t) su transformada toma la forma





Los límites son fijos y definidos entre e ; el resultado no depende de t solo del parámetro s

Se hace notar que el límite inferior esta definido desde lo que se hacepara enfatizar el hecho que la integración se realiza considerando el tiempo t = 0 y lo que ocurra con la f(t) en ese instante

Así la integración ocurre para todo tiempo , considerando que generalmente la función f(t) es exactamente igual a cero para todo

Respecto del parámetro s, puede ocurrir que tome valores reales , complejos o imaginarios puros su forma general será entoncesEJEMPLO 1

Si f(t) es un escalón tal que s es real positivo, entonces la aplicación de la transformada resulta una integral decreciente, se entiende que el escalón vale 1 para todo tiempo mayor que cero.











Luego = para


Así el área bajo la curva resulta ser finita , sin embargo si el parámetro s es un número real negativo el área bajo lacurva definida por la integral resulta ser una exponencial creciente con resultado infinito

Si el parámetro s es complejo con parte real la integral resulta ser finita.

si






Luego

Para Re(s) > 0


EJEMPLO 2

Sea la exponencial donde a es un numero real o complejo su transformada de Laplace resulta ser


F(s) =

Así




Asípara Re (s-a) > 0



Propiedades De la Transformada de Laplace

Las propiedades de la Transformada de Laplace son utilizadas para resolver operaciones de funciones relativamente complicadas

Primera propiedad: UNICIDAD

La propiedad de Unicidad significa que si se tiene una función transformable en el dominio del tiempo, f(t), la transformada deLaplace de ella corresponde a una una función en el dominio de la frecuencia compleja. F(s) y si se conoce la función su transformada inversa corresponde en forma unívoca a la misma función en el tiempo.

Sea una función transformable
luego entonces

Sin perjuicio de lo anterior no todas las funciones tienen su transformada , por lo que la transformada esválida solo para funciones F(t) que sean transformables. Una función es transformable cuando la función resultante genere un valor finito cuanto .

La propiedad de Unicidad permite construir tablas de transformadas que evitan tener que aplicar la integral de transformada cada vez que se necesita obtenerla.



F(t)
F(s)
f(t)





















Propiedad deLINEALIDAD

Esta propiedad reviste gran importancia en el concepto que la transformada de Laplace es una función lineal, la propiedad de linealidad puede probarse aplicando las propiedades de homogeneidad y aditividad que satisfacen una función lineal

Sean y dos funciones en el tiempo y C1 y C2 dos constantes arbitrarias

Y sea

Aplicando transformada de LaplaceComo C1 y C2 son constantes





Con lo que queda demostrada la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace.

EJEMPLO

Obtener la Transformada de Laplace de la función coseno

Sea



Se sabe que




Entonces aplicando linealidad se cumple

= =




Propiedad de DIFERENCIACIÓN

La tercera propiedad de la Transformada de...