transformada de laplace



Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad del Zulia
Programa de ingeniería Luz-Col
Cabimas- Edo. Zulia
Materia: Calculo IV









Aplicaciones de la transformada de Laplace.
























IntroducciónLa transformada de Laplace: Es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de losproblemas originales. Es aplicable en la resolución de problemas de ingeniería, la cual se asocia a componentes eléctricas que contienen parámetros resistivos, inductivos, capacitivos y fuentes. Dentro de ellos se puede hallar solución a problemas que involucren los anteriores parámetros y además se pueden hallar soluciones por superposición.


El siguiente informe tiene como objetivo ver lasdistintas aplicaciones reales de la transformada de Laplace y como se pueden resolver problemas de ecuación diferencial mediante la aplicación de Laplace.































Aplicación de la transformada de Laplace para resolver circuitos eléctricos:


Iniciamos con la ecuacion

Donde E (t) es la fuente, R el valor dela resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la capacitancia

 
Sustituimos los valores y nos queda

Aplicamos Laplace a toda la ecuación y obtenemos

Multiplicamos 10s toda la ecuación para simplificar



Aplicamos Laplace inversa


Aplicación de la transformada de Laplace para resolver una ecuación Diferencial de segundo orden:d2y dy
1) Ejemplo ── + ── + y= F(t) , y'' +   y' +   y = F(t) (1)
dt2 dt
Donde   “y”   son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera   y(0) = A e y'(0) = B   (2)

Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuaciónalgebraica para determinar L { y(t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular la anti transformada de Laplace de Y(s).


2) Ejemplo: y'' + y = t, con y (0) = 1, y'(0) = -2.

Aplicando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:

L {y’’} + L {y} = L {t}
S2 Y(s) - s y (0) - y'(0) + Y(s)= 1/s2
s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2

Entonces: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2   + (s - 2)

Despejando Y(s):
Y(s) = [1/s2   + (s - 2)] / [s2 + 1] 
Y(s) = 1/s2   - 1/s2 + 1 +   s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1
Y(s) = 1/s2   +   s/s2 + 1 - 3/s2 + 1

Aplicando Anti transformada a cada término:
L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2   +   s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}

Se obtiene de la tabla:

y(t) = t + cos t - 3 sen tAplicación de la transformada de Laplace para resolver una ecuación lineal de forma:


y’ (t) = A . y(t) + f(t) (1.1)

Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales, f = ( f1,f2,… fn )t donde fi son funciones dadas e y= (y1,y2,…yn)t, es la función vectorial incógnita.Supongamos además las condiciones iniciales:

y(0) = y0 (1.2)


Donde y0 = (yº1, yº2,…yºn) con yºi números reales para 1≤ i ≤ n. Sea

Ļ|y| (z) = (Ļ [y1] (z), Ļ [y2] (z),.. Ļ [yn] (z))t

Entonces tomando la transformada de laplace en (1.1) y teniendo en cuenta (1.2) obtenemos que zĻ [y] (z) –yo = A . Ļ [y](z) + Ļ [f](z). De donde si In...