Transformada de Laplace

La transformada de Laplace

∞

Y ( s ) = L{y (t )} = ∫ e −st y (t )dt
0

1

Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)

"Podemos mirar el estado presente del
universo como el efecto del pasado y
la causa de su futuro.
Se podría condensar un intelecto que
en cualquier momento dado sabría
todas las fuerzas que animan la
naturaleza y las posiciones de los
seres que la componen, si esteintelecto fuera lo suficientemente
vasto para someter los datos al
análisis, podría condensar en una
simple fórmula el movimiento de los
grandes cuerpos del universo y del
átomo más ligero; para tal intelecto
nada podría ser incierto y el futuro así
como el pasado estarían frente sus
ojos."
2

La transformada de Laplace
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su
transformada deLaplace se define como:
∞

L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t ) e dt
− st

0

donde s es una variable compleja s = σ + iw.
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe
si la integral converge.
3

Observa que la transformada de Laplace es una
integral impropia, uno de sus límites es infinito:
∞

e
∫

− s ⋅t

0

Notación:

h

f (t )dt = lim ∫ e
h →∞

− s ⋅t

f (t)dt

0

L { f (t )} = F ( s ),
L { y (t )} = Y ( s ),
L { x(t )} = X ( s ), etc.
4

Condiciones suficientes de existencia de la TL
∞

L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t ) e − st dt
0

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

| f (t ) |≤ Me , ∀t ∈ [0, ∞)
at

Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

∃b ∈ ℜ tq lim | f (t )e
t →∞

− bt

|= 0

Entonces:
L{f(t)}= F(s) existe ∀s > a.

5

Calcula la transformada de f(t) = 1:

−1 −(s+1)t
L{1} = F(s) = ∫ 1e dt = e
0
s
∞

∞

−st

0

1
=
s

1
f (t) =1 → F(s) =
s
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
6

Calcula la transformada de f(t) = tn:

{ }

L t = F ( s) = ∫
n

∞

0

−st ∞

e
t e dt = t
−s
n −st

n

0

∞

− ∫ nt

n−1

0

−st

e
dt =
−s

{}

n ∞ n−1 −st
n
= ∫ t e dt = L t n−1
s 0
s

{ }

{ }

n
L t = L t n−1
s
1
0
L t =
s
n

{ }

⎫
⎪ n
n!
⎪
⎬L t = n+1
s
⎪
⎪
⎭

{ }

n!
f (t) = t → F(s) = n+1
s
n

7

Calcula la transformada de f(t) = e-t:

{ }

∞

∞

−( s+1)t

L e = F(s) = ∫ e e dt = ∫ e
−t

−t −st

0

0

−1 −(s+1)t
e
s +1

∞

0

dt =

1
=
s +1

1
f (t) = e→ F(s) =
s +1
−t

8

Calcula la transformada de f(t) = Aeat:

{ }

∞

∞

−( s−a)t

L Ae = F(s) = ∫ Ae e dt = ∫ Ae
at

− A −(s−a)t
e
(s − a)

at −st

0

∞

0

0

dt =

A
=
, s >a
s −a

A
f (t) = Ae → F(s) =
, s >a
s −a
at

9

Calcula la transformada de f(t) = sen(at):
∞

− st

e
sen ( at ) e dt = sen ( at )
−s

∞

L {sen ( at )} = F ( s ) =∫

0

a⎧
e − st
⎪
⎨cos( at )
s⎪
−s
⎩

a
e − st ⎫ a
⎪
(− a ) sen ( at ) dt ⎬ = 2 − 2
s
−s ⎪ s
⎭

∞

0

−∫

⎛ a2 ⎞
a2
⎜1 + 2 ⎟ I = 2 ;
⎜ s ⎟
s
⎠
⎝

∞
0

I=

f ( t ) = sen ( at ) →

− st

0

−∫

∫

∞
0

∞
0

e − st
a cos( at )
dt =
−s

sen ( at )e − st dt

a
s2 + a2

a
F (s) = 2
s + a2

Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)10

Calculemos la transformada de f(t) = eiat:

e = cos(at ) + i sen (at )
iat

{ } = F ( s) = ∫

L e

iat

1
( − s +ia )t
e
− s + ia

∞

0

∞
0

∞

e e dt = ∫ e
iat − st

0

( − s +ia )t

dt =

1 s + ia s + ia
=
= 2
=
2
s − ia s + ia s + a

s
a
+i 2
= L{cos(at )}+ iL{sen (at )}
2
2
2
s +a
s +a
11

La función Heaviside o escalón unidad:

⎧0if t < c
u (t − c) = ⎨
⎩1 if t ≥ c
1

1

0
∞

L {u (t − c)} = ∫ e

− s ⋅t

0

lim

h →∞

−1
s

e

− s ⋅t h
c

= lim

h →∞

cc

h

t

u (t − c)dt = lim ∫ e
h →∞

−1
s

(e

− s ⋅h

−e

− s ⋅c

− s ⋅t

dt =

c

)=e

− s ⋅c

s
12

Función delta de Dirac
Sea la función parametrizada:
1
f ε (t ) = [u (t − a ) − u (t − (a + ε ) )]...