transformada de laplace

La transformada de Laplace
1.1. Introducci´on
La transformada de laplace es un operador LINEAL muy ´util para la resoluci´on de ecuaciones
diferenciales.
Laplace demostr´o c´omo transformar lasecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones ´
algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
1.2. Conceptos b´asicos
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, act´uasobre una funci´on f y devuelve
otra funci´on L[f]
Definici´on 1. La transformada de Laplace de una funci´on f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una funci´on L[f]
de una variable real s dada por:
(F(s) =)L[f](s) = Z∞
0
f(t)e
−stdt = l´ımτ→∞ Z τ
0
f(t)e
−stdt (1.1)
Est´a definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido.
12 CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 1.1. Si f(t) = c. Calculasu transformada de Laplace.
L[c](s) = Z ∞
0
ce−stdt = l´ımτ→∞
ce−stdt = l´ımτ→∞
c
·
−1
s
e
−st¸τ
0
=
= l´ımτ→∞
c
·
−1
s
e
−sτ +
1
s
e
−s0
¸
= 0 +
c
s
=
c
s
, s > 0observa que si s > 0, entonces l´ımτ→∞ e
−τs = 0
Ejercicio.- Comprobar las siguientes igualdades:
1. L[t](s) = 1
s
2 , s > 0
2. L[e
at](s) = 1
s−a
, s > a
3. L[senbt](s) = b
s
2+b
2 , s > 0Proposici´on 1. La transformada de Laplace es lineal. Es decir, si L[g](s) y L[g](s) est´an definidas
en un intervalo s > s0, entonces tambi´en lo est´a L[αf + βg](s) para cualesquiera α, β ∈ R.L[αf + βg](s) = αL[f](s) + βL[g](s)
Ejemplo 1.2. Calcula L[11 + 5e
4t − 6sen2t]
L[11 + 5e
4t − 6sen2t] = L[11] + L[5e
4t
] + L[−6sen2t] =
= 11L[1] + 5L[e
4t
] − 6L[en2t] = 111
s
+ 5
1
s −4
− 6
2
s
2 + 4
=
11
s
+
5
s − 4
−
12
s
2 + 4
con s > 0 y s > 4 −→ s > 41.3. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA 3
1.3. Transformada de una derivada
Supongamos que y
0
(t) es continuapara t ≥ 0 y que para toda s > s0 (para alg´un s0) se verifica
que e
−sτ y(τ ) → 0 si τ → ∞. Entonces se tiene que:
L[y
0
](s) = −y(0) + sL[y](s) (1.2)
Nota 1. Para que la transformada sea ´util,...