Transformada de laplace

La Transformada de Laplace

Universidad de Nariño Yudy Narvaez Vallejo e-mail: yudynarvaez27@hotmail.com

Resumen La transformada de Laplace es aplicable en la resolución de problemas de ingeniería, la cual se asocia a componentes electricas que contienen parámetros resistivos, inductivos, capacitivos y fuentes. Dentro de ellos se puede hallar solucion a problemas que involucren losanteriores parametros y ademas se pueden hallar soluciones por superposicion. Se aplica a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) lineales de orden n, y a los
sistemas lineales de Ecuaciones Diferenciales (ED), particularmente en el caso de coeficientes constantes. Por otro lado, el método es punto de partida para el tratamiento de sistemas dinámicos y teoría de control.

cambiar funciones de lavariable del tiempo t a una función de la variable compleja s. Dada una función f(t), nula cuando t < 0, su transformada de Laplace se define como:
∞

�� �� : =
0

exp −���� ��(��) ����

(1)

La transformada de Laplace de este modo es, una función en la nueva variable independiente s. El paso de la función f(t) a su transformada de Laplace F(s), se representará en forma operacionalmediante la expresión: F(s) = ℒ[��(��)] Esta integral impropia (1), debe ser convergente. Por ello la transformada F(s) existirá siempre que se satisfagan ciertas condiciones suficientes para la convergencia de esta integral. Generalizando se puede decir que la clase de funciones para las cuales existe transformada de Laplace es considerablemente amplia. Ejemplo 1. Sea la función: �� �� = ���������� , t ≥ 0 , donde �� ∈ ℝ. Se tiene entonces para s > a:
∞

Palabras Clave: Transformada de Laplace, ingeniería, sistemas dinámicos, teoría de control. 1. Introducción En el presente artículo se presentan las definiciones básicas, las propiedades y aplicaciones de la Transformada de Laplace, además se muestra que es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia deproblemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra en donde las soluciones puedan ser obtenidas fácilmente. De este modo se aplica la transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

�� �� =
0

(at) exp(−st) d t −1 + ������ exp[(�� − ��)��] =
��→∞

�� − �� 1 = , �� >��. �� − �� En el anterior ejemplo se puede observar que la transformada de Laplace F(s) no está definida, en general, para todo valor de la variable s. El dominio de la transformada F(s) es: s ∈ ℝ, �� > ��. Por otro lado, es posible

2. Definición i Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite

extender eldominio de la transformada de Laplace para incluir valores complejos de s. Dicho de otro modo, puede ser preciso en algunos casos considerar la transformada de Laplace F(s) como función (compleja) de la variable compleja s ∈ ℂ.

representación de excitación, etc…

señales,

funciones

de

3.1. Función de Heaviside ii La función de Heaviside o función de salto unidad se define como: �� �� = 0,�� < 0 1, �� ≥ 0

3. Existencia de la transformada de Laplace La transformada de Laplace F(s) existe si: 1. f(t) es una función continua en todo el intervalo, 0 < �� < ∞ y ∃ �� 0+ = limn→0+ 2. f(t) es una función exponencialmente acotada, es decir, para t > T, donde T > 0 es un cierto número positivo, podemos encontrar constantes M > 0 y K tales que: |��(��)| ≤ M exp(����), ∀t > �� 3.1.Observaciones 1. La segunda condición significa que y(t) debe crecer mas lentamente que alguna exponencial, por ejemplo, la función y(t) = exp(t2), 0 ≤ t, tiene un crecimiento que es mayor, en orden de comparación, que el de cualquier exponencial: es una función que no es exponencialmente acotada y no admite transformada de Laplace. Tales funciones, sin embargo, no son de interés para las...