Transformada discreta de fourier

Análisis de Señales y Sistemas
Transformada Discreta y Transformada Rápida de Fourier

27/11/2009

Ileana Freige Retana A01100066
Rodrigo Acosta

Transformada Discreta de Fourier

Unasecuencia periódica puede ser representada por series de Fourier. Con la correcta interpretación, la misma representación puede ser aplicada a secuencias de duración finita. La representación de Fourierresultante para secuencias de duración finita es lo que se conoce como la transformada discreta de Fourier (TDF).

Se puede representar una secuencia de duración finita de largo N por una secuenciaperiódica con periodo N, un periodo de la cual es idéntica a la secuencia de duración finita.

Consideremos una secuencia de duración finita x(n) de largo N de forma que x(n) = 0 excepto en el intervalo 0 ≤n ≤ (N - 1). Claramente una secuencia de largo M menor que N también puede considerarse de largo N, teniendo amplitud cero los últimos (N - M) puntos del intervalo. La secuencia periódicacorrespondiente de periodo N, para la cual x(n) es un periodo, será denotada por x(n) y está dada por:

Dado que x(n) es de largo finito N no hay sobrelapamiento entre los términos x(n+rN) para diferentes valoresde r. Así, la ecuación anterior puede ser escrita alternativamente como:

donde % indica la operación módulo. La secuencia de duración finita x(n) es obtenida a partir de x(n) extrayendo un periodo:Por conveniencia en la notación, es útil definir la secuencia rectangular RN(n) dada por:

Con esta notación la ecuación de arriba puede escribirse como:

Los coeficientes de la series de Fourierdiscreta X(k) de la secuencia periódica x(n) son en sí mismas una secuencia periódica con periodo N. Para mantener una dualidad entre los dominios del tiempo y frecuencia, se escogerán los coeficientesde Fourier que se asocian con la secuencia de duración finita correspondiente a un periodo de X(k). Así, con X(k) denotando los coeficientes de Fourier que se asocian con x(n), X(k) y X(k) están...