transformada fourier

LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado

Transformada de Fourier*

1. De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primeras
consideraciones
Las series de Fourier son u´ tiles para el estudio de se˜nales peri´odicas pero, desafortunadamente,
este tipo de se˜nales no son tan frecuentes en la pr´actica como las no-peri´odicas. Esta situaci´on requiere
el desarrollo de unateor´ıa matem´atica m´as ambiciosa y a ello vamos a dedicar alg´un tiempo.
Sea x(t) una se˜nal aperi´odica1 definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0)
la se˜nal 2T -peri´odica que se obtiene a partir de x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T ] y
extendiendo peri´odicamente con periodo 2T . Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g.,
es C1 (R)), entonces tendremos laidentidad
x(t) = xT (t) =

1
2T

∞

T

x(s)e−(πi/T )ks ds e(πi/T )kt , para t ∈ (−T, T ]

(1)

−T

k=−∞

Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la
igualdad l´ımite ser´a v´alida para todo t ∈ R y su valor ser´a igual al de la se˜nal de partida x(t).
Ahora, estudiemos qu´e le sucede al segundo miembro si hacemos T → ∞. Tomando ∆f =
1/(2T ) y fk = k∆f, podemos reescribir (1) como
∞

x(t) =

T

x(s)e−2πifk s ds e2πifk t , para t ∈ (−T, T ]

∆f
−T

k=−∞

Ahora bien, |fk+1 − fk | = ∆f = 1/2T ( k ∈ Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {fk }
como nodos equiespaciados de una partici´on de Riemann para la integral l´ımite
∞

∞

−∞

−∞

x(s)e−2πif s ds e2πif t df

Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobrela suavidad de la se˜nal
aperi´odica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier):
∞

∞

−∞

−∞

x(t) =
*

x(s)e−2πif s ds e2πif t df

Este documento est´a basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, “Matem´aticas para la recuperaci´on de se˜nales”, Grupo Editorial Universitario, 2005.
1
Es decir: no peri´odica.

LAFA. Laboratorio deAn´alisis de Fourier Aplicado

Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf , podemos reescribir la anterior f´ormula como
x(t) =

1
2π

∞

∞

−∞

−∞

Definici´on 1 La se˜nal

x(s)e−iξs ds eiξt dξ
∞

x(s)e−iξs ds

F(x)(ξ) := x(ξ) :=
−∞

toma el nombre de transformada de Fourier de la se˜nal (aperi´odica) x(t) ∈ L1 (R).
Definici´on 2 La se˜nal
F −1 (y)(t) :=

1
2π

∞

y(ξ)eiξs dξ

−∞

toma el nombre detransformada de Fourier inversa de la se˜nal (aperi´odica) y(ξ).
Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como
1
2π
1
=
2π

∞

∞

−∞
∞

−∞

x(t) =

x(s)e−iξs ds eiξt dξ

F(x)(ξ)eiξt dξ = F −1 (F(x))(t)

−∞

y, de manera an´aloga,
F(F −1 (y))(ξ) = y(ξ).
Una cosa es clara: bajo ciertas hip´otesis (que luego especificaremos), conocer la transformada
de Fourier de una se˜nalequivale a conocer dicha se˜nal, ya que al aplicar la transformada inversa
recuperamos toda la informaci´on. De igual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier {ck }∞
k=−∞
de cierta se˜nal (peri´odica) x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos
la se˜nal, pues para rescatarla completamente bastar´a sumar la correspondiente serie de Fourier. As´ı,
el papel delespectro de la se˜nal, que en el caso peri´odico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el
caso aperi´odico lo juega la transformada de Fourier.
Para evitar problemas con la definici´on de transformada de Fourier, supondremos que la se˜nal x(t)
es absolutamente integrable en R. Es decir, supondremos que
∞

||x||L1 (R) =

|x(t)|dt < ∞.
−∞

En tal caso, su transformada x(ξ) existe y est´auniformemente acotada en R, pues |e−iξs | = 1 para
ξ, s ∈ R implica |x(ξ)| ≤ ||x||L1 (R) para para ξ ∈ R.

2

LAFA. Laboratorio de An´alisis de Fourier Aplicado

1.1. Teoremas b´asicos sobre la transformada de Fourier
La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar
un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier ser´a u´ til...