Transformada Inversa De Laplace

1.Transformada Inversa de Laplace.

1.1.-Definición de Transformada inversa de Laplace

Sea F(t) una función de t definida para t > 0. La transformada de Laplace de F(t), denotada por , se define como:

Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos

* Definición:
Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (oAntitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)
Fórmula de algunas funciones inversas de Laplace:

| F(s) | L-1{f(s) = F(t) |
1. | 1/s | 1 |
2. | 1/s2 | T |
3. | 1 / sn+1 n=0,1,2,... | tn / n! |
4. | 1 / s-a | eat |
5. | 1 / s2+a2 | sen at / a |
6. | s / s2+a2 | cos at |
7. | 1 / s2-a2 | sen h at / a |
8. | s / s2 - a2 | cos h at |

Método para hallar la Antitransformada deLaplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se explicará el Método de las Fracciones Parciales.
Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante yr = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

* Ejercicio resuelto : Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Como se ve, es de la forma L-1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se puede observar también que el grado de Q(s) > P(s).
El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces:3s + 7 3s + 7 A B (1)
s2 - 2s - 3 (s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene:

3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B (2)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación resultante (2),hallo los valores de los coeficientes A y B:
A + B = 3
A - 3B = 7

Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) :
3s + 7 A B 4 1

(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1 s - 3 s + 1

Para hallar la Antitransformada de Laplace, sebusca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los términos:

L -1 3s + 7 L -1 4 L -1 1
(s - 3)(s + 1) s - 3 s + 1

4 L -1 1 L -1 1s - 3 s + 1

f (t) = 4 e 3t - e - t






1.2Métodos para hallar la Transformada inversa de Laplace

Método de las fracciones parciales.
Cualquier fracción racional , donde P(s) & Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s) , puede escribirse como una suma de fracciones racionalesde la forma:

, donde r = 1,2,3...
Ejemplo. Hallar:


Multiplicando a ambos miembros por (s-1) , y haciendo que tenemos que además:

Para determinar B & C le damos a s los valores de 0 & 2 , por ejemplo tenemos:

,
Donde C = 1 & B = -2, Tenemos entonces que:





Sila transformada de Laplace de una función F(t) es f(s) , es decir si = f(s) , entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se expresa como. Ejemplo:
como: se puede escribir:

* Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:

| f(t) | L {f(t)} = F(s) |
1 | K | k/s |
2 | t | 1/s2 |
3 | tn | n!/sn+1 |
4 | eat | 1/ s-a |
5 | sen at | a/...