Transformada inversa

Se˜ ales y Sistemas II (IE–859) n Ejemplos de la transformada z inversa
c M. Valenzuela 1999–2001
(8 de febrero de 2001)

Ejemplo 1
Obtedremos la transformada z inversa de X(z) = 2z 3 + z (z − 2)2 (z − 1) . (1)

Potencias positivas de z y expansi´n de X(z)/z o
Se expande en fracciones parciales X(z)/z: X(z) z = = 2z 2 + 1 (z − 2)2 (z − 1) ; (2) (3)

A1 A21 A22 + . 2 + z − 1 (z − 2) z−2Las constantes se obtienen de la siguiente manera: A1 = X(z) (z − 1) z 2z 2 + 1 (z − 2)2 3; 2z + 1 (z − 1)
2 2 z=1

;
z=1

(4)

= = A21 =

;

(5) (6)

;
z=2

(7) (8) ; (9)

= 9; A22 = d 2z + 1 dz (z − 1) (z − 1)2 −1.

z=2

= =

2z 2 − 4z − 1
z=2

;

(10) (11)

Sustituyendo y despejando X(z) se obtiene que: X(z) z X(z) = = 3 9 1 + − ; z − 1 (z − 2)2 z−2 3z z 9z +. 2 − z − 1 (z − 2) z−2 (12) (13) (14) Para obtener la transformada inversa utilizamos la siguiente f´rmula: o Z −1 z (z − K)m = K n−m+1 (m − 1)!
m−2

(n − k).
k=0

(15)

Ejemplos de la transformada z inversa

Se˜ales y Sistemas II (IE–859) n

En particular, para m = 1 y m = 2 se obtiene que: Z −1 Z −1 Por lo tanto, x(n) = x(nT ) = 3 + 9n 2n−1 − 2n . (18) z z−K z (z − K)2 = K n; nKn−1 . (16)

=

(17)

Potencias positivas de z y expansi´n de X(z) o
Al hacer la expansi´n en fracciones parciales de una funci´n racional es necesario que el orden del o o numerador sea menor al orden del denominador. En este ejemplo, para expander X(z) es necesario realizar la divisi´n de la siguiente manera: o X(z) = 2+ = 2+ 10z 2 − 15z + 8 (z − 2)2 (z − 1) ; (19) (20)

A1 A21 A22 + . 2 + z− 1 (z − 2) z−2

Las constantes se obtienen de la siguiente manera: A1 = = = A21 = = A22 = [X(z)(z − 1)]z=1 ; 10z − 15z + 8 (z − 2)2 3; 10z 2 − 15z + 8 (z − 1) 18; d 10z − 15z + 8 dz (z − 1) 10z 2 − 20z + 7 (z − 1)2 7.
z=2 2 z=1 2

(21) ; (22) (23) ;
z=2

(24) (25) ; (26)

z=2

= = Por lo tanto, X(z) es igual a 2+

;

(27) (28)

18 7 3 + . 2 + z − 1 (z − 2) z−2

Ahoraobtenemos la transformada inversa aplicando la propiedad del retraso: x(n) = = = = = 2δ(n) + 3u(n − 1) + 18(n − 1) 2n−2 u(n − 1) + 7 2n−1 u(n − 1); 2δ(n) + 3 − 3δ(n) + 9n 2 3 − δ(n) + 9n 2 3 − 9n 2
n−1 n−1 n−1 n n−1

(29) u(n − 1); (30) (31) (32) (33)

u(n − 1) − 9 2

n−1

u(n − 1) + 7 2

n−1

− 2 u(n − 1); − 2 + δ(n);
n

n

3 − δ(n) + 9n 2

−2 .

Esto es lo que ya hab´ ıamosobtenido.
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Ejemplos de la transformada z inversa

Se˜ales y Sistemas II (IE–859) n

Potencias negativas de z y expansi´n de X(φ) o
Expresamos X(z) en potencias negativas utilizando la notaci´n φ = z −1 . o X(φ) = = = Expandemos X(φ) en fracciones parciales: X(φ) = A1 A21 A22 + . 2 + 1 − φ (1 − 2φ) 1 − 2φ (37) 2z 3 + z (z − 2)2 (z − 1)2 + z −2 (1 − 2z −1 )2 (1 − z −1 ) 2 + φ2 (1 − 2φ)2 (1 − φ) . ; ; (34) (35) (36)

Se obtienen las constantes de la siguiente manera: A1 = = A21 = 2 + φ2 (1 − 2φ)2 3; 2+φ 1−φ 9 ; 2 1 d 2 + φ2 (−2) dφ 1 − φ − − 1 2 + 2φ − φ2 2 (1 − φ)2 11 . 2 ;
φ=0.5 2 φ=1

;

(38) (39)

;
φ=0.5

(40)

= A22 =

(41) (42)

=

;
φ=0.5

(43)

= Por lo tanto, X(φ) =

(44)

9 11 3 + − . 1 − φ2(1 − 2φ)2 2(1 − 2φ)

(45)

Para obtener la tranformada inversa utilizamos la siguiente f´rmula: o Z −1 1 (1 − Kz −1 )m = K n m−1 (n + k). (m − 1)! k=1 (46)

En particular, para m = 1 y m = 2 se tiene que: 1 1 − Kz −1 1 1 − Kz −1
2

= =

K n; (1 + n)K n .

(47) (48)

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P´gina 3 a

Ejemplos de la transformada z inversa

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x(n)

9 11 n = 3 + (1 + n) (2n ) − (2 ) ; 2 2 = = 3 + 9n 2n−1 + 9 n 11 n (2 ) − (2 ) ; 2 2

(49) (50) (51)

3 + 9n 2n−1 − (2n ) .

M´todo computacional e
Escribimos X(z) como una fracci´n de polinomios en potencias positivas de z: o X(z) = 2z 3 + z z 3 − 5z 2 + 8z − 4 . (52)

Utilizamos el programa zinv.c para obtener los valores de las muestras en el...