Transformada Z Inversa

Matem´ticas a Avanzadas para Ingenier´ ıa: Transformada Z Inversa Departamento de Matem´ticas a X −1 (z) MFP Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Referencias

Matem´ticas Avanzadas para Ingenier´a: a ı Transformada Z Inversa
Departamento de Matem´ticas a

MA3002

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Transformada z Inversa
La transformada Z inversa de una funci´n de variable compleja o X (z) se define como x(n) = 1 2πi X (z) z n−1 dz
C

donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple C postivamente orientada que encierra el origen y que cae en la regi´n de convergencia (ROC) deX (z). A pesar de la o definici´n, es m´s conveniente calcular la transformada Z o a inversa buscando la se˜ales que tienen como transformada Z a n la expresi´n X (z). Veremos tales m´todos. o e

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´Metodo de Fracciones Parciales
En la mayor´ de las aplicaciones el problema consiste en ıa determinar la transformada Z inversa de una funci´n racional o X (z). Es decir, de la divisi´n entre dos polinomios. El M´todo o e de Fracciones Parciales la expresi´n se convierte en una o combinaci´n lineal de transformadas de funciones b´sicas como o a n u(n) y n an u(n). De ser posible tal descomposici´n,δ(n), a o entonces es sencillo encontrar la transformada inversa mediante la aplicaci´n de una tabla. En muchos casos, ser´ m´s o a a conveniente primero desarrollar X (z)/z en fracciones parciales, y despu´s despejar X (z) multiplicando por z. Ello porque el e caballito de batalla es Z {an u(n)} = z/(z − a) y cuando multipliquemos por z los factores lineales quedar´n a modo. a

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´ ´ Metodo Rapido de Fracciones Parciales I
Es pr´ctico que recuerde el m´todo r´pido para el c´lculo de a e a a fracciones parciales en el caso de t´rminos lineales NO e REPETIDOS: En el desarrollo de fraccionesparciales cuando z = a NO es un cero de Q(z) P(z) A R(z) = + (z − a) Q(z) z − a Q(z) el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z) mediante la f´rmula o P(a) A= Q(a)

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´ ´ Metodo Rapido deFracciones Parciales II
Es tambi´n pr´ctico que recuerde el m´todo r´pido para el e a e a c´lculo de fracciones parciales en el caso de t´rminos lineales a e REPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuando z = a NO es un cero de Q(z) A B R(z) P(z) = + + 2 Q(z) 2 (z − a) (z − a) (z − a) Q(z) el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z) mediante la f´rmula o P(a) A= Q(a)mientras que el valor de B se calcula como B= P (a) − A · Q (a) Q(a)

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´ ´ Metodo Rapido de Fracciones Parciales III
Cuando en el denominador se tiene un cero de orden tres: P(z) A R(z) B C = + + + 3 Q(z)3 2 (z − a) (z − a) (z − a) (z − a) Q(z) (Se supone que Q(a) = 0). Entonces los coeficientes pueden calcularse por las f´rmulas: o A = B = C = P(a) Q(a) P (a) − A · Q (a) Q(a) P (a) − A · Q (a) − 2 B Q (a) 2! Q(a)

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