transformada z

5. Transformada Z.
5.1. Transformada Z bilateral.
Cuando tenemos una señal muestreada, esta se puede describir en el dominio del
tiempo continuo de la siguiente forma

Esta señal muestreada se puede describir, en el dominio del tiempo discreto de la
forma

La transformada de Laplace para esta expresión corresponde a

Reemplazando

, obtenemos
|

Recordando que
como

donde

,obtenemos la transformada Z bilateral definida

es una variable compleja, descrita en forma polar, de la forma

Por lo tanto, la transformada Z puede escribirse como

En esta última expresión, se observa que la suma puede no converger (no existe
), dependiendo del valor de , el módulo de .

Los valores de para los que la expresión anterior converge se definen a partir de
las partescausal y no causal de
, es decir

1
A partir de esta definición,

puede expresarse como

|

|

|

|

Por lo tanto, para que exista
cada uno de los términos sumatorias debe
converger en un valor finito. Si este es el caso, existen dos constantes
y , tal que
se cumple
|

|

0

|

|

0

1, mientras que la segunda expresión es
La primera expresión es finita si ⁄
1. Por lotanto,
converge para la región definida por
finita si ⁄

Esta región corresponde a un anillo, centrado en el origen del plano complejo.

Para señales discretas, cuya transformada Z es una función racional de , es
decir,
/
, resulta que
no convergerá en los valores de donde
es cero. Este valor corresponde a un polo de la transformada Z.
A continuación se dan algunos aspectos opropiedades útiles respecto de la
región de convergencia de la transformada Z.
Para una señal discreta x[n] de duración finita, su transformada Z es de la forma

y esta transformada tiene una región de convergencia que corresponde al plano z
completo, excepto quizás en
0 (debido a las potencias negativas de ) y
∞
(debido a las potencias positivas de ).
Si
es una secuencia limitada por laizquierda (se desarrolla hacia positivo),
está en la región de convergencia, entonces todos los valores
y si el círculo | |
finitos de para | |
serán parte de la región de convergencia.
De la misma forma, Si
es una secuencia limitada hacia por la derecha (se
desarrolla hacia negativo), y si el círculo | |
está en la región de convergencia,
entonces todos los valores finitos de para 0 | |
seránparte de la región de
convergencia.
Por último, y tal como fue mostrado anteriormente, si
es una secuencia
limitada tanto por la derecha, como por la izquierda y si el círculo | |
está en la
región de convergencia, entonces la región de convergencia consiste de un aro en
.
plano z, centrado al origen, que incluye el círculo | |
Si
de
es racional, entonces la región de convergencia esacotada por
polos (valores donde X(z) no converge) o se extiende al infinito. En este caso, si
es una secuencia limitada por la izquierda, entonces la región de convergencia
corresponde a la región del plano fuera del círculo centrado al origen, del polo más
externo. Si además
es causal, entonces la región de convergencia también
incluye
∞. Si
es una secuencia limitada por la derecha,entonces la región de
convergencia corresponde a la región del plano dentro del círculo centrado al origen,
del polo más interno. Si además
no es causal, entonces la región de convergencia
también incluye
0.

5.2. Transformada Z bilateral inversa.
La transformada Z bilateral inversa permite obtener la expresión de la señal
discreta a partir de su transformada Z bilateral, y corresponde a unaintegral de
contorno, de la forma

De la teoría de funciones complejas, esta integral es igual a la suma de los
contenidos en el contorno cerrado, conforme el
residuos en los polos de
teorema del residuo. Es decir

No obstante, dado que normalmente se trabajará con sistemas lineales y señales
estándares, se recurre a tablas con la relación entre señales y sus transformadas de
Laplace...