transformada z

Tema 11. Transformada z
Prof. William La Cruz Bastidas
2 de julio de 2002

Tema 11

Transformada z
11.1

Transformada z

En esta secci´n introducimos la transformada z de una se˜ al discreta. Se pueden distinguir dos
o
n
tipos de transformada z : Bilateral y Unilateral.
Definici´n 11.1 (Transformada z Bilateral) Se define la Transformada z Bilateral de
o
una se˜al discreta x(n)como
n
∞

x(n)z −n ,

X (z ) =
n=−∞

donde z es una variable compleja. En s´, la transformada z bilateral de una se˜al discreta es una
ı
n
funci´n anal´tica en cierto dominio, que se denomina regi´n de convergencia.
o
ı
o
Definici´n 11.2 (Transformada z Unilateral) Sea x(n) una se˜al discreta.
o
n
Transformada z Unilateral de x(n) como

Se define la

∞

x(n)z −n ,

X (z ) =n=0

donde z es una variable compleja. En s´, la transformada z unilateral de una se˜al discreta es
ı
n
una funci´n anal´tica en cierto dominio, que se denomina regi´n de convergencia.
o
ı
o
En adelante para referirnos a la transformada z bilateral diremos, simplemente, transformada
z . Cuando queramos resaltar si se est´ utilizando la transformada z bilateral o unilateral, lo
aindicaremos.
La transformada z se denomina a veces transformada z directa porque transforma una se˜ al
n
en el dominio del tiempo x(n) en la se˜ al compleja X (z ). El procedimiento inverso, es decir, el
n
que obtiene x(n) a partir de X (z ), se denomina transformada z inversa y se discute en la Secci´n
o
4.3.
Por conveniencia, la transformada z de una se˜ al x(n) se denota por
n
X (z ) ≡ Z{x(n)}
mientras que la relaci´n entre x(n) y X (z ) se indica mendiante
o
x(n) ←→ X (z )
1

TEMA 11. TRANSFORMADA Z

2

y se denomina par de transformadas z .
Dado que la transformada z es una serie infinita de potencias, ´sta existe s´lo para aquellos
e
o
valores de z para los que la serie converge. La regi´n de convergenica, ROC, de X (z ) es el conjunto
o
de todos los valores dez para los que X (z ) es finita. Por lo tanto, siempre que hablemos de una
transformada z debemos indicar tambi´n su ROC.
e
Ejemplo 11.1 Calcular las tranformadas z bilateral y unilateral de x(n) = a n u(n), a ∈ C y
especifique su regi´n de convergencia.
o
Soluci´n. Se tiene que
o
∞

an u(n)z −n

X (z ) =
=

n=−∞
∞
n −n

az

n=0
∞

(az −1 )n ,

=
n=0

esta serie convergesi es absolutamente convergente, es decir, si
∞

az −1

n

|a|.

Transformada z Inversa

A menudo, tenemos la transformada z de una se˜ al y queremos determinar la se˜ al. Supongamos
n
n
que la se˜ al x(n) posee transformada z , X (z ), cuya ROC es el anillo r 1 < |z | < r2 , con r1 > r2 > 0.
n
Daremos tres m´todos alternativos para calcular la transformada z inversa: Integraci´nCompleja,
e
o
Inversi´n con Tablas y Expansi´n en Serie de Potencias.
o
o
Integraci´n Compleja
o
Como X (z ) es una funci´n anal´
o
ıtica en el anillo, la transformada inversa z se reduce a integrar
una funci´n anal´
o
ıtica a lo largo de un contorno cerrado simple. En otras palabras,
x(n) =

1
2πj

X (z )z n−1 dz,
C

donde C = {z ∈ C : |z | = r, r1 < r < r2 }.
Paracalcular x(n) a trav´s de este m´todo, se puede utilizar el teorema integral de Cauchy o
e
e
el Teorema de los Residuos.

TEMA 11. TRANSFORMADA Z

3

Ejemplo 11.2 Calcular la transformada z inversa de
X (z ) =

1
1 − az −1

ROC: |z | > |a|.

Soluci´n. Sea C la circunferencia |z | = r > |a|. As´
o
ı,
x(n) =

1
2πj

X (z )z n−1 dz =
C

1
2πj

C

zn
dz.
z−a

Supongamosque n ≥ 0. Aplicando el Teorema de los Residuos
x(n) = Res

zn
z−a

= an .
z =a

Cuando n < 0, entonces aplicamos nuevamente el Teorema de los Residuos
x(n) = Res

zn
z−a

+ Res
z =0

zn
z−a

= −an + an = 0.
z =a

Por lo tanto, la transformada z inversa de X (z ) es
x(n) = an u(n).
Inversi´n con Tablas
o
Este m´todo consiste en expresar a X (z ) como una suma
e
X (z...