Transformada Z

6
LA TRANSFORMADA Z

Imaginaria{ }

Imaginaria{ }
j

Real{ }
-1 1

Real{ }

Círculo unitario

-j

6.1 Definición de la Transformada z
En el capítulo anterior se estudiaron métodos para describir y analizar el comportamiento de sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo o desplazamiento. Estas técnicas se llevan a cabo en el dominio del tiempo ya que las señales serepresentan como funciones del tiempo. Sin embargo, aunque dichos procedimientos son simples pueden resultar en ocasiones muy laboriosos. En este capítulo, se introduce una herramienta matemática que simplifica el análisis y síntesis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo, la transformada z. De manera análoga a la transformada de Laplace que se aplica a los sistemascontinuos lineales e invariantes con el tiempo, la transformada z se utiliza en el análisis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo. La transformada z permite realizar operaciones y “ver” propiedades y características de los sistemas y señales discretos en una forma más simple que en el dominio del tiempo. La técnica que se presenta en este capítulo recibe el nombre de análisisen el dominio de la frecuencia. Considere las tres señales mostradas en la Fig.6.1; la primera, f(t), es una función del tiempo continua. La segunda señal, fs(t), se obtiene multiplicando una secuencia periódica de impulsos unitarios de periodo T por f(t), es decir

f s ( t ) = f ( t ) d T ( t ) = f ( t )å d( t - nT ) = å f [nT ]d( t - nT )
n= 0 n= 0

¥

¥

(6.1)

143

6 LATRANSFORMADA Z

f(t)

0 (a)

t fs(t)

0

T 2T 3T 4T 5T (b)

t

f[n]

0

1 2 3 4 5 (c)

n=t/T

Figura 6.1. (a) Señal continua. (b) Señalunción muestreada. (c) Señal discreta.

y la señal f[n] es la secuencia discreta de f(t). La transformada de Laplace unilateral de fs(t) es Fs(s), es decir

Fs ( s ) = L { f s ( t )} = å f [nT ]e - nTs
n= 0

¥

(6.2)

si en la ecuaciónanterior se hace la siguiente sustitución

z = e sT = e (s + jw) T = e sT e jwT
se define la transformada z unilateral de f(nT) como

(6.3)

F ( z ) = L { f s ( t )} z = e sT = Z{ f[nT] } = å f[nT]z -n
n= 0

¥

(6.4)

para toda z que haga que F(z) converja; por lo que el conjunto de valores de z para los cuales F(z) existe se denomina región de convergencia. La Ec. (6.3) se puedeconsiderar como un mapeo del plano complejo s a el plano complejo z, como se muestra en la Fig 6.2. El origen y el eje imaginario del plano s corresponden al punto 1 + j0 y al círculo unitario del plano z respectivamente.

144

6.2 Propiedades de la Transformada z

Imaginaria{ }

Imaginaria{ }
j

Real{ }
-1 1

Real{ }

Círculo unitario

-j

Figura 6.2. Mapeo del plano s al plano z,con s = esT

Cuando s < 0, z = e sT < 1 el semi plano izquierdo del plano s se mapea en el interior del círculo unitario del plano z, o dicho de otra manera, hay una correspondencia entre la región de estabilidad de los sistemas continuos y la región de estabilidad de los sistemas discretos. La secuencia f[nT] se dice que es la transformada z inversa de F(z) y puede ser unívocamentedeterminada por

f [nT ] =

1 n -1 ò G F ( z ) z dz 2pj

Transformada z inversa

(6.5)

donde G es un contorno en sentido antihorario que encierra todas las singularidades de F ( z ) z n-1 (el lugar geométrico de los puntos donde F ( z ) z n- 1 ® ¥, es decir los polos). De esta manera, la secuencia f[nT] y la función compleja F(z) se dice que constituyen un par de transformación z , que sesimboliza por

f [nT ] « F ( z )
o

(6.6)

Z{ f [nT ]} = F ( z ) Z -1 {F ( z )} = f [nT ]

(6.7)

La transformada z unilateral, Ec. (6.4), considera secuencias para n ³ 0 únicamente, que para la mayoría de los problemas de naturaleza práctica resulta suficiente. En lo que sigue y con la finalidad de simplificar, el periodo de muestreo, T, se considera igual a uno.

6.2 Propiedades de la...