Transformada Z

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO
TRASFORMADA INVERSA Z MEDIANTE LA INTEGRAL DE INVERSIÓN Ó MÉTODO DE LOS RESIDUOS.

RESUMEN
La transformada z inversa es un modelo matemático a la cual lepodemos dar una visualización de uso parecido a la transformada inversa de Laplace la cual se encarga de de llevar el análisis de una función en el dominio de la frecuencia compleja a una función en eldominio del tiempo, de igual manera la transformada z inversa convierte una representación en el dominio de la frecuencia compleja en una señal en el dominio del tiempo discreto.

PALABRA CLAVETransformada z
Transformada z inversa
Teorema de Cauchy
DESARROLLO

INTRODUCCIÓN
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplaceen sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada Z inversa. La notación para la transformada Zinversa será Z-1 y da como resultado la correspondiente secuencia X[n].

MARCO TEÓRICO
Sea F(z) la transformada en z de la secuencia {f(kT)}
F(z)=∑_(k=0)^(k→∞)▒〖f(kT)Z^(-K) 〗=f(0)+f(T)Z^(-1)¬+f(2T) Z^(-2)+⋯+f(kT) Z^(-k)+..
Multiplicando ambos miembros por Z^(k-1), se obtiene
Z^(k-1) F(z)=f(0) Z^(k-1)+f(T) Z^(k-2)¬+f(2T) Z^(k-3)+⋯+f(kT) Z^(-k)+.. (1.1)
Teniendo en cuenta quez=e^Ts=e^(T(σ-jω))=e^Tσ∠σωT(1.2)
Si los polos de la transformada de Laplace de la secuencia, {f(kT) },L{f(kT)}, están situados a la izquierda de la línea, s=σ, en el plano, s, los polos de la función, Z{f(kT)},están situados dentro de una circunferencia de centro en el origen y radio igual a e^Tσ, en el plano z.
Integrando la ecuación, (1.1) a lo largo de la circunferencia del plano, z, en sentido contrarioa las manecillas del reloj, se obtiene
∮▒〖z^(k-1) F(z)dz〗=∮▒〖f(0) Z^(k-1)¬dz〗+∮▒〖f(T) Z^(k-2)¬dz〗+⋯+∮▒〖f(kT) Z^(-1) dz〗+..(1.3)

Aplicando uno de los teoremas de Cauchy, el término general,...