Transformada Z

Transformada Z
Jose Salvador Cánovas Peña November 13, 2007

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Contents
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ecuaciones en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . Transformada Z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a la resolución de la ecuación en diferencias Funciones de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 6 6 7

0.1

Ecuaciones en diferencias finitas

El interés del estudio de la transformada Z es debido a que es la análoga a la transformada de Laplace para resolver ecuaciones en diferencias finitas. Estasecuaciones aparecen en ingeniería al modelizar sistemas electrónicos cuyas entradas y salidas son una sucesión de datos discretos. Para fijar ideas, consideremos el siguiente ejemplo.

Este dispositivo está formado por dos elementos. El primero de ellos, marcado con una S, es un elemento que suma o resta datos, que a su vez vendrán modulados por números reales. El denotado por una D es un aparatoque produce un retardo de una unidad temporal en la sucesión. La figura representa el tipo más sencillo de retroalimentación de una señal. Los datos de entrada vienen dados por la sucesión xk y los de salida por yk+1 = rk . En el proceso, los datos intermedios rk vienen dados por la expresión rk = xk − ayk , (0.2) (0.1)

donde a es un número real. Combinando (0.1) y (0.2) obtenemos la ecuaciónen diferencias de orden uno yk+1 + ayk = xk . 3

4 Si complicamos el dispositivo, como se muestra en la figura,

se obtiene una ecuación de orden dos. Aquí yk+1 = vk , vk+1 = rk , de donde se obtiene la ecuación rk = xk + byk − avk , yk+2 + ayk+1 − byk = xk .

El uso de la transformada Z permite afrontar con ciertas garantías de éxito la resolución de estas ecuaciones. Por ejemplo supongamosla ecuación ½ yk+2 + yk+1 − 2yk = 1; y0 = 0, y1 = 1. Vamos a ver cómo la transformada Z nos permite obtener la solución de la ecuación anterior transformando dicho problema en un problema algebraico.

0.2

Definición y propiedades básicas

Consideremos una sucesión de números complejos xk . Se define la transformada Z de la misma como la serie ∞ X xn Z[xk ](z) = . (0.3) zn n=0 P∞ Nótese que(0.3) es una serie de Laurent con parte regular x0 y parte singular n=1 xn z −n , y que por tanto convergerá en un disco de convergencia de la forma A(0, r, +∞) = {z ∈ C : |z| > r} P donde r es el radio de convergencia de la serie de potencias ∞ xn z n . n=1 Por ejemplo, si δ = (1, 0, 0, 0, ...) entonces su transformada Z es Z[δ](z) = 1 definida en todo el plano complejo. Si xk = (1, 1, 1, ...),entonces Z[1](z) = siempre que |z| > 1. Propiedades básicas.
∞ X 1 1 = zn 1− n=0 1 z

=

z , z−1

5 • Linealidad. Dadas las sucesiones xk e yk y α, β ∈ C, se verifica Z[αxk + βyk ](z) = αZ[xk ](z) + βZ[yk ](z) para todo z en el dominio de definición de Z[xk ](z) y Z[yk ](z). Demostración. Basta calcular Z[αxk + βyk ](z) =
∞ X αxn + βyn zn n=0

= α

∞ ∞ X xn X yn +β = αZ[xk ](z) + βZ[yk](z). zn zn n=0 n=0

• Dada la sucesión xk , definimos la nueva sucesión yk = xk+1 . Entonces Z[yk ](z) = Z[xk+1 ](z) = zZ[xk ](z) − zx0 . En general, si k0 ∈ N y definimos yk = xk+k0 , tenemos la fórmula Z[xk+k0 ](z) = z k0 Z[xk ](z) − Demostración. Calculamos Z[xk+1 ](z) =
∞ X xn+1 zn n=0 k0 −1 X n=0

xn z k0 −n .

= z

∞ X xn = z − zx0 = zZ[xk ](z) − zx0 . zn n=0

∞ ∞ X xn+1 X xn =z z n+1zn n=0 n=1

• Dada la sucesión xk y a ∈ C \ {0}, se verifica Z[ak xk ](z) = Z[xk ](z/a). Dmostración. Calculamos Z[ak xk ](z) =
∞ ∞ X an xn X xn = = Z[xk ](z/a). zn (z/a)n n=0 n=0

Por ejemplo, si xk = (1, 2, 22 , 23 , ...), se tiene que Z[2k ](z) =
∞ X 2n 1 = n z 1− n=0

2 z

=

z . z−2

• Dadas las sucesiones xk y km , m ∈ N, se verifica Z[km xk ](z) = [−z d m ] Z[xk ](z), dz

d...