transformada z

Transformada Z
Objetivos
Aplicar la definición de transformada Z a funciones
elementales discretas.
2 Desarrollar y aplicar las propiedades de la
transformada Z a funciones discretas.
3 Demostrar las propiedades de la transformada Z e
interpretarlas con ejemplos.
4 Obtener la transformada Z inversa de una
transformada, por medio de diversos métodos.
5 Resolver ecuaciones derecurrencia con el uso de la
transformada Z.
6 Aplicar la definición de la transformada Z modificada.
7 Conocer la aplicación de la transformada Z a otros
campos de la ingeniería.

CAPÍTULO 3

1

3.1  Introducción
Debido a que el enfoque de esta obra está orientado al estudio de las señales y sistemas discretos
utilizados en el análisis de sistemas de control digital, nosconcentraremos en las señales discretas
y(k) que estén definidas para k ≥ 0, a las que llamaremos señales causales, asumiendo que el índice
k representa el tiempo discreto.
En el capítulo anterior, nos concentramos en el estudio de ecuaciones de recurrencia lineales
y en la obtención de la solución de dichas ecuaciones. En este capítulo vamos a estudiar las propiedades de la transformada Z y susaplicaciones, las cuales nos van a permitir encontrar las soluciones
de esas mismas ecuaciones, pero de una manera algebraica, es decir, relacionada con polinomios
y sus raíces. Este enfoque a la solución de estos problemas es similar al empleado en el estudio de
sistemas continuos lineales y la transformada de Laplace, como se ilustra en la figura 3.1.
Sistemas continuos
lineales, f (t)Transformada de
Laplace F(s)

Sistemas discretos
lineales, f (k)

Transformada Z F(z)

Figura 3.1  Relación de áreas de aplicación de la transformada de Laplace y la transformada Z.

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Capítulo 3

Transformada Z

3.2  Conceptos fundamentales
En seguida, establecemos la definición de la transformada Z de una señal discreta.
DEFINICIÓN 3.1

{

}

Sea y
y(k) k N , y(k) C o
{y(0), y(1), y(2),…} una secuencia de números reales o
complejos. La transformada Z de la secuencia (o señal) y(k), denotada por Y(z), se define como
la serie:
∞



Y (z ) = Z [ y(k)] = ∑ y(k)z −k

z ≥R

k=0

(3.1)

donde z es una variable compleja, z = s + jw, y definida en una zona de convergencia z ≥ R .
Debido a que la transformada Z se define a partir de una serie de potencias,es importante preguntarnos sobre cuestiones como en qué casos esa serie converge; si es así, en qué zona del plano
complejo converge. Además, cabe preguntarnos si toda sucesión { y(k)} tiene una transformada
Z asociada Y (z), y también, si toda función Y(z) representa una transformada de una sucesión
{ y(k)}. En esta sección responderemos estas interrogantes fundamentales para el estudio de latransformada Z, aun cuando el tratamiento no es formal. Le aconsejamos que si está interesado en
el estudio de un tratamiento formal del tema consulte la obra de R. Vich (Vich, 1987).
En cuanto a la convergencia de una serie de potencias, es importante determinar la zona de
convergencia de la misma, para ello, si la serie
∞



F (z ) = ∑ f (k)z −k



(3.2)

k=0

converge en unpunto z 0, entonces la serie converge absolutamente afuera del círculo z > z 0 , y
converge de manera uniforme en toda región cerrada z ≥ R > z 0 . Con este resultado tenemos
que la serie converge para todo z > R y diverge para todo z < R, y R es el radio de convergencia
de la serie. Este concepto lo ilustramos en la figura 3.2.
v

Zona de convergencia
R
u

Figura 3.2  Zona deconvergencia de la transformada Z.

El otro resultado importante que necesitamos establecer es el relacionado con qué tipo de
sucesiones {f (k)} podemos encontrar con la transformada Z, es decir debemos determinar cuáles
sucesiones tienen transformada Z. Para ello, definimos que { f (k)} es una sucesión de tipo exponencial si existe un M > 0, un s0 ≥ 0 y k0, ≥ 0, de tal manera que


f (k) < M exp...