Transformada Z

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Transformada Z
La bibliografía para el estudio de este tema es: el Capítulos 3, “Z Transform” y el Capítulo 5, “Transform Analysis of Time-Invariant Systems” del libro de Oppenheim, A., Schafer, R., Discrete-Time Signal Processing, 2da. Edición, Prentice-Hall, Inc., 1998.

6.1.

Idea de la demostración del Teorema de Cauchy
I
k

Se desea probar que

C

z

dz =

donde C es uncontorno cerrado que rodea al origen y orientado en sentido antihorario (Fig. 6.1). Es conveniente introducir el cambio de variables z = r (q ) e jq parametrizando el contorno C en función del ángulo q. Es evidente que dz =   d r (q ) jq d e jq e + r (q ) dq dq dq



2pj, 0,

si k = 1, si k = 1,

(6.1)

= r 0 (q ) e jq dq + j r (q ) e jq dq.
Para k = 1, el integrando es

zk dz =z1 dz h i 1 = r 0 (q ) e jq + j r (q ) e jq dq r (q ) e jq r 0 (q ) = dq + j dq. r (q )

1

2

6. Transformada Z

Im
r ( )e j

r( )

Re

Fig. 6.1. Contorno de integración para la Ec. 6.1.

Por lo tanto,
I

C

z

1

dz =

dq + j dq r (q ) 0 Z 2p Z 2p d = j dq [ln r (q )] dq + dq 0 0 = ln r (q )|2p + jq |2p 0 0
0

Z 2p 0 r (q )

Z 2p

= 2pj

(6.2)

pues r (0) =r (2p ) , y además r (q ) 6= 0 para todo q 2 [0, 2p ) pues el contorno de integración rodea al origen. Para el caso en que k = m  2, se tiene que zm dz = h i 1 r 0 (q ) e jq + j r (q ) e jq dq r m (q ) e jmq   1 d 1 dq m  1 dq r m1 (q ) e j(m1)q
Z 2p

=
y entonces,
I

C

z

m

dz =

=

= 0.

  1 d 1 dq m  1 dq r m1 (q ) e j(m1)q 0 2p  1 1  m ( q ) e jmq  m1 r0

(6.3)

Finalmente, si k =  p  0 (es decir, p  0), resulta h i zm dz = z p dz = r p (q ) e jpq r 0 (q ) e jq + j r (q ) e jq dq i 1 d h ( p +1) = r (q ) e j( p+1)q dq, p + 1 dq

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6.2. Ejemplos de aplicación de la transformada Z
y entonces
I
C

3

zk dz =

i 1 d h ( p +1) r (q ) e j( p+1)q dq C p + 1 dq i2p 1 h ( p +1)  = r( q ) e j ( p +1) q  p+1 0 = 0.

I I

C

z p dz

=

(6.4)

De (6.2)-(6.4) queda probado (6.1).

6.2.

Ejemplos de aplicación de la transformada Z

6.2.1. Propiedad de convolución

E JEMPLO 6.1. Cálculo de la convolución entre dos sucesiones Se debe calcular la convolución entre la sucesión x [n] = an u[n], donde se supone que | a| < 1, y la sucesión h[n] = u[n  1]. En esteejemplo se exploran dos alternativas:
Cálculo de la convolución por definición: Si y[n] = x [n]  h[n], como x [n] es causal y h[n] es no causal se encuentra que ( • si n < 0, Â k =0 x [ k ] h [ n  k ] , y[n] = Â x [k]h[n  k]y[n] = • Âk=n+1 x [k]h[n  k], si n  0. k Entonces, para n < 0 se tiene que y[n] = Por otra parte, si n  0, y[n] =
k = n +1 • •

k =0

 x [k ] h[n  k ] =  ak = 1 a .
k =0

1

Â

•

x [k]h[n  k] =

k = n +1

Â

•

ak =

k =0

 ak   ak = 1  a 
k =0

•

n

1

1  a n +1 a n +1 = . 1a 1a

Por lo tanto, y[n] = x [n]  h[n] =

8 < :

1 1 a ,

si n < 0, si n  0.

a n +1 1 a ,

(6.5)

Cálculo de la convolución aplicando la transformada Z En general,es mucho más sencillo antitransformar el producto de lastransformadas Z de las sucesiones que efectuar el cálculo de la convolución por definición. en este caso, x [n] = an u[n] h[n] = u[n  1]

() X (z) = ()
Z

Z

1 , | z | > | a |, 1  az1 (1) H (z) = , |z| < 1. 1  z 1

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4

6. Transformada Z

Como | a| < 1, las regiones de convergencia de X (z) y de Y (z) se solapan en | a| < |z| < 1, yentonces se puede definir Y (z) = X (z) H (z) = 1 (1)  , para | a| < |z| < 1. 1  az1 1  z 1 A0 A1 + , 1  az1 1  z 1

Expresando Y (z) en fracciones parciales, Y (z) = donde A0 A1 Por lo tanto, Y (z) = 

= =

 (1)  1 a  Y (z)(1  az = = = , 1  1 1a z= a 1z 1a z= a   (1)  1   Y (z)(1  z1 ) = = . 1  1a z =1 1  az z =1
1

  )

a 1a



1 + 1 ...