Transformada Z

Universidad Fermín Toro
Decanato de Ingeniería
Cabudare. Edo Lara







Transformada Z





Integrantes:
Daniel Díaz V-22.329.206
Daniel Gallardo V-23.487.300

Cabudare, Febrero 2014
Índice

I. Transformada Z…………………………………………….……………….1

Transformada Z bilateral.....……………………………..…2
Transformada Z unilateral.…………………………………2

II. Transformada Zinversa…………………………………………………….3

III. Región de Convergencia…………………………………………………...4

IV. Ejemplos…………..…………………………………………………………5

V. Aplicaciones………………………………………………………………....7

VI. Conclusión……………………………………………………………….…..9

VII. Bibliografía………………………………………………………………….10




Transformada Z

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
Elnombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
La transformada Z, al igual que otrastransformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.
Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define:



a transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.


Transformada Z bilateral
LaTZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, latransformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo  ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variablediscreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.





Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa se define en:

donde  es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de .
Un caso especial ysimple de esta integral circular es que cuando  es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT)es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.










Región de convergencia
La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual latransformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando  es absolutamente sumable.



Propiedades de la región de convergencia
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n].
La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es...