Transformada Z

La Transformada Z
Ejercicios

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. |


PROBLEMAS BÁSICOS:
1. Determine la restricción que debe haber en r= z para que cada una de las siguientes sumas converja:
a.n=-1∞12n+1z-n
b. n=1∞12-n+1zn
c. n=0∞1 + (-1)n2z-n
d. n=-∞∞12n cos(π4n)z-n

SOLUCION:
a. La sumatoria dada puede ser escrita como
n=-1∞1212r-1ne-jωn,

Al remplazar z con rejω. Si r<12 , entonces 12r-1>1 y la función dentro de la sumatoria tiende a infinito al incrementarse n. Además, la sumatoria no converge. Pero si r>12 , entonces la sumatoria converge.
b. Lasumatoria dada puede ser escrita como
n=1∞122rnejωn,

al remplazar z con rejω. Si r>12 , entonces 2r>1 y la función dentro de la sumatoria tiende al infinito al incrementarse n. Además, la sumatoria no converge, pero si r<12 si lo hace.
c. La sumatoria puede ser escrita como
n=0∞r-n+-r-n2e-jωn
al remplazar z con rejω. Si r>1, entonces la función dentro de la sumatoria tiende alinfinito al incrementar n. Además, la sumatoria no converge. Pero si r<1, entonces la sumatoria converge.
d. La sumatoria puede ser escrita como
n=0∞12r-1ncos⁡(πn/4 )e-jωn+ n=-∞012r-ncos⁡(πn/4)e-jωn
al remplazar z con rejω. La primera sumatoria converge para r>12 y la segunda para r<2. Por lo tanto, la suma de las dos sumatorias converge para 12<r<2.

2. Examine la señalxn=15nun-3
Use la ecuación Xz ≜ n = -∞∞xnz-n , para evaluar la transformada Z de esta señal, y especifique la región de convergencia correspondiente.

SOLUCION:
Usando la siguiente ecuación,
Xz=n=-∞∞15nun-3z-n
=n=3∞15nz-n
=z-3125n=0∞15nz-n
=z-312511-15z-1 z>15

3. Sea
xn=-1nun+ αnu-n-n0.
Determine las restricciones en el número complejo α y el entero n0, dado que la ROC deX(z) es
1<z<2

SOLUCION:
Usando la siguiente ecuación, se puede mostrar fácilmente que
anu-n-n0z-zn01-αz-1 , z<|α|
Luego se obtiene
Xz=11+z-1+-z-n0-11-αz-1 . 1<z<α.

Por lo tanto, |α| tiene que ser 2. n0 puede tomar cualquier valor.

4. Considere la señal
xn= 13ncosπ4n, n≤00, n>0
Determine los polos y la ROC para Xz.SOLUCION:
Usando la siguiente ecuación, obtenemos
Xz=-∞013ncosπ4nz-n
=12n=-∞013nejπn4z-n+12n=-∞013ne-jπn4z-n
=12n=0∞13-ne-jπn/4zn+12n=0∞13-nejπn/4zn
=1211-3e-jπ/4z+1211-3ejπ/4z , z<13

Los polos son en z=13ejπ/4 y z=13e-jπ/4.

5. Para cada una de las siguientes expresiones algebraicas para la transformada z de una señal, determine el número de ceros en el plano z finito y elnúmero de ceros en el infinito.
e. z-1(1 - 12z-1)(1-13z-1)(1-14z-1)
f. (1-z-1)(1 - 2z-1)(1-3z-1)(1-4z-1)
g. z-2(1 - z-1)(1-14z-1)(1+14z-1)
SOLUCION:
a. La transformada z dada puede ser escrita como
Xz=z-12z-13z-14
Claramente, X(z) tiene un cero en z=12 . Dado que en Xz, el orden del polinomio del denominador excede en 1 el orden den polinomio del numerador, Xz tiene uncero en ∞. Por lo tanto, Xz tiene un cero finito en el plano z y uno en el infinito.
b. La transformada z dada puede ser escrita como
Xz=z-1z-2z-3z-4
Claramente, Xz tiene ceros en z=1 y z=2. Dado que en Xz, el orden de los polinomios del numerador y denominador son iguales, Xz tiene dos ceros finitos en el plano z y ningún cero en el infinito.
c. La transformada z dada puede ser escritacomo
Xz=z-1zz-14z+14
Claramente, Xz tiene un cero en z=1. Dado que en Xz, el orden del polinomio del denominador excede en 2 el orden del polinomio del numerador, Xz tiene dos ceros en ∞. Por lo tanto, Xz tiene un cero finito en el plano z y dos ceros en ∞.

6. Sea xn una señal absolutamente sumable con transformada z racional Xz. Si sabemos que X(z) tiene un polo en z=12 , ¿podría xn...