Transformada Z

Transformada Z
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Definición - Interpretación
Estabilidad
Transformada inversa
Transformada unilateral
Ejercicios

2013

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TZ

Transformada Z
Introducción
La transformada z es una herramienta muy importante tanto para el
análisis como para la síntesis de sistemas discretos en el tiempo.
Mediante esta herramienta podemos determinar rápidamente la
transferencia, la respuesta enfrecuencia y la estabilidad de sistemas
discretos.

Interpretación de la transformada Z
La transformada Z para los sistemas de tiempo discreto tiene el
mismo objetivo que la transformada de Laplace para los sistemas de
tiempo continuo.
Es más, vamos a mostrar que la transformada Z surge como un caso
particular de la transformada de Laplace.
Supongamos que queremos encontrar la transformada de Laplacepara una señal discreta. Sabemos que para obtener una señal
discreta a partir de una señal continua en t, primero debemos
muestrear la señal continua x(t) con un tren de impulsos ideales.
Esto nos da la señal muestreada x*(t):
x* HtL = â x HtL d Ht - nTL
¥

n=-¥

Vamos a encontrar ahora la transformada de Laplace de x*(t)
‹@x* HtLD = ‹A â x HtL d Ht - nTLE = ‹A â x HnTL d Ht - nTLE
¥

¥

n=-¥

n=-¥‹@x* HtLD = â x HtL ‹@d Ht - nTLD = â x HnTL e-nTs
¥

¥

n=-¥

n=0

X HsL = â x HnTL e-nTs
*

¥

n=0

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Vemos que x*(s) contiene al factor e-nTs . Como consecuencia
tenemos que la transformada de Laplace de este tipo de señales no
genera funciones racionales en s, lo que habitualmente ocurre con la
mayoría de las señales continuas en eltiempo. Es evidente que este
hecho hace que la transformada de Laplace de este tipo de señales
no goce de los beneficios que tienen las transformadas de las señales
continuas. Otra dificultad aparece cuando se desea realizar la
transformada inversa. Se puede resolver el problema realizando el
siguiente cambio de variable:

z = esT

s=

1
T

ln HzL

Con este cambio tenemos que X*(s) será:

¥
1
i
y
Xs=
ln HzL = X HzL = â x HnTL z-n
T
k
{
n=0
*

Es decir que:

X HzL = ™@x HnTLD = â x HnTL z-n
¥

n=0

Esta última expresión se conoce como la transformada Z de una
secuencia discreta en el tiempo, que ahora sí es una función racional
en Z.

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Relación entre el plano s y el plano Z
Como consecuencia del cambio de variable realizado, esnecesario
estudiar cual es la relación existente entre ambos planos. Para ello
recordemos que s es una variable compleja y la podemos poner
como:

s = s + jw
Por lo tanto

z = esT = eHs+jwL T = esT ejwT donde ws =

Plano s

2p
T

Plano z

3 ws
2

ws
2

-

-

w

wT

ws

s1 T

2

3 ws

1

-1

s1

2
jw 2 p
ws

si s = 0 ” z = ejwT = e

\ si w = 0 Þ z = 1
ws
y si w =
Þ z = -1
2

Como puede verse latransformación del plano s al Z presenta
interesantes propiedades:
1) El eje j se transforma en la circunferencia de radio |z|=1.
Sabemos que para encontrar la respuesta en frecuencia de un
sistema analógico debemos evaluar al mismo sobre s=j. Por lo
tanto para encontrar la respuesta en frecuencia de un sistema
discreto lo debemos hacer sobre |z|=1 es decir en:
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z = ejwT

TZ

X HzLtz=ejwT = â x HnTL z-n
¥

n=-¥

X Hz = e
X He

jwT

tz=ejwT

L = â x HnTL HejwTL
¥

-n

n=-¥

jwT

L = â x HnTL e-jnwT
¥

n=-¥

Esta ultima expresión corresponde a la transformada de Fourier para
señales discretas. (DTFT)
2)

Sabemos que para que un sistema analógico sea estable debe
tener todas sus singularidades en el semiplano izquierdo Hs < 0L .
Como éstese transforma en |z|<1, resulta que todas las
singularidades de un sistema discreto estable deberán estar dentro
del circulo de radio 1.

3) Una revolución completa alrededor del círculo |z|=1 corresponde
a una variación igual a ws a lo largo del eje j.

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Definición general de la transformada Z
La transformada Z de una secuencia...