Transformada

MECÁNICA DE LOS FLUIDOS I, Ingeniería Aeronáutica Transformación de Joukovsky La transformación de Joukovsky1 en el plano complejo, es la más simple de un conjunto de transformaciones de la forma: a a2 a3 z' = f (z) = z + 1 + 2 + 3 + ... z z z Estas modifican el plano sensiblemente para valores pequeños de z, pero su influencia tiende a 0 a medida que el módulo de z crece. La transformación deJoukovsky tiene la expresión: z' = f (z) = z + b2 z

Esta convierte a una circunferencia de radio a > |b| en una la forma de un perfil aerodinámico.

Fig. 1

La derivada de la transformación es

dz' b2 = 1− 2 dz z

Se observa que se anula en dos puntos : z = b y z = -b. En éstos, la transformación no es conforme, es decir, no conserva los ángulos entre dos curvas que pasen por esospuntos.
Nikolai Igorovich Joukovsky (o Zhukovsky, en otra versión occidentalizada de su apellido), vivió entre 1847 y 1921. Fue profesor de Mecánica Analítica en la Universidad de Moscú. Publicó diversos trabajos en Matemáticas, Mecánica y Fluidodinámica. Sus principales contribuciones a la Aerodinámica son: la transformación conforme de Joukovsky, los perfiles Joukovsky, y la condición hoy conocidacomo de KuttaJoukovsky, sobre la circulación que genera un perfil en movimiento.
1

Una transformación conforme en todo el plano z, aplicada a una circunferencia, no podría generar un perfil con un borde de fuga afilado, porque cualquier quiebre en la curva violaría la conservación de ángulos que impone la condición de conforme. Pero en este caso, si uno de los puntos de la circunferencia esz = ± b, en la imagen de ese punto puede aparecer un quiebre en la curva: ese punto se transforma en el borde de fuga del perfil. En el ejemplo de la figura, es el punto z = -b. Como el punto z = +b queda en el interior del círculo, su imagen queda dentro del perfil, y no afecta su forma, ni el campo de flujo alrededor del mismo. La transformación de las coordenadas da:  b2 x ' = x (1 + 2 )  x+ y2   2  y' = y (1 − b )  x 2 + y2 

x '+ i y' = x + i y +

b 2 ( x − i y) x 2 + y2

⇒

(1)

Las coordenadas del círculo original se obtienen de la ecuación del mismo: z cil = z c + ae it , con 0 ≤ t < 2π Las coordenadas del centro del círculo quedan determinadas por su radio, a y el ángulo β que muestra la figura, de modo que el punto z = -b sea la intersección de lacircunferencia con el eje real:

Fig. 2

Se analizarán algunos casos particulares.

1) Transformación del círculo centrado en el origen:

En el caso general, con |b| < a, la transformación es conforme en todos los puntos del círculo. La ecuación de este círculo es: z = ae iθ , 0 ≤ θ < 2π o bien x 2 + y 2 = a 2 (2)

Si se despejan x e y en función de x’e y’ (ecuaciones (1) ) y considerando (2),queda:    x'  b2 1+ 2  a       +  y'   b2 1− 2   a   Es decir:    x'  b2 a+  a       +  y'   b2 a−   a  
2 2

   = a2   

2

   =1   

2

(3)

que es la ecuación de una elipse.

Fig. 3

En el caso límite en que b = a, el círculo se transforma en el segmento del eje real -2a ≤ x ≤ 2a. Se observa que si b = a, los puntos z = b y z = -bpertenecen a la circunferencia, y se transforman en z’= 2a y z’= -2a respectivamente. En este caso no es aplicable la ecuación (3), ya que el denominador del segundo término se anula. Pero la transformación es muy sencilla en coordenadas polares: z' = z + a2 a2 e iθ + e − iθ = ae iθ + iθ = ae iθ + ae −iθ = 2a ( ) = 2a cos θ z 2 ae 0 ≤ θ < 2π

Al variar θ, el segmento es recorrido dos veces:desde 2a a -2a y viceversa.

Fig. 4

2) El centro de la circunferencia está en (0, yc). La ecuación de la misma es, por lo tanto: x 2 + (y − y c ) 2 = a 2 Esta circunferencia se transforma en el arco de circunferencia en z’ indicado, entre 2a y -2ª, que cruza el eje y en 2yc. Los puntos z = b y z = -b caen sobre la circunferencia original, y se convierten en los extremos del arco. La ecuación...