Transformadas De Coordenadas

Conferencia No.2: TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS EN EL PLANO.

Sumario:
1. Introducción.
2. Traslación de ejes coordenados. Reducción de cónicas mediante traslación de ejes coordenados.
3. Rotación de ejes coordenados. Reducción de cónicas mediante rotación de ejes coordenados.

1- Introducción
Los puntos de un plano pueden identificarse con pares ordenados de números reales.
Se trazandos rectas perpendiculares, que se intersecan en el origen (0). Usualmente a la recta horizontal, con dirección positiva hacia la derecha, se le denomina eje x; la otra recta es vertical, con dirección positiva hacia arriba, y se le denomina eje y.
Cualquier punto P en el plano puede localizarse por un par ordenado único de números. Al trazar rectas perpendiculares por P a los ejes x y y, lasmismas se interceptan en los ejes en puntos con coordenadas a y b como se muestra en la siguiente figura.

Al punto P se le asigna el par ordenado (a, b). El primer número a se llama la abscisa de P, mientras que el segundo número b se llama ordenada de P. Decimos que P es el punto con coordenadas (a, b) y se denota el punto P(a, b).
Este sistema se llama sistema de coordenadas rectangulares osistema de coordenadas cartesianas en honor del matemático francés René Descartes (1596 – 1650).
El plano, junto con este sistema de coordenadas, se llama plano de coordenadas o plano cartesiano y es denotado por 2. Los ejes x y y se llaman ejes de coordenadas y dividen al plano cartesiano en cuatro cuadrantes, los que se designan por I, II, III y IV.
Gráficas de ecuaciones de segundo grado:Circunferencia: Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuya distancia desde el centro C(h, k) es igual a r. Así, un punto P está sobre la circunferencia sí y solo sí = r. A partir de la fórmula de distancia entre dos puntos del plano se tiene que:

al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
que es la ecuación buscada.

Ecuación de una circunferencia: Laecuación de una circunferencia con centro (h, k) y radio r es (x – h)2 + (y – k)2 = r2
En particular, si el centro es el origen (0, 0) la ecuación toma la forma: x2 + y2 = r2
Ejemplo No.1: Escriba la ecuación de la circunferencia con radio 3 y centro (2, 4)
Respuesta:
Se tiene que h = 2, k = 4 y r = 3
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 9

Parábola: Gráfica de la ecuación de la forma y = ax2 + bx + c
EjemploNo.2: Trace la gráfica de la parábola y = x2
Respuesta:
Formamos una tabla de valores y marcamos los puntos, los unimos con una curva uniforme y así obtenemos la gráfica.
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9

La siguiente figura muestra las gráficas de varias parábolas con ecuaciones y = ax2 para distintos valores del número a. En todos los casos, el vértice (punto en que la parábola cambiade dirección) está en el origen.


Si (x, y) satisface a y = ax2, también la satisface (–x, y). Esto corresponde al hecho geométrico de que si la mitad derecha de la gráfica se refleja en el eje y, se obtiene la mitad izquierda. Se dice que esta gráfica es simétrica respecto del eje y.
La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje y si la ecuación no cambia cuando x sesustituye con –x.
Si intercambiamos y por x en la ecuación y = ax2, el resultado será x = ay2, que también representa una parábola (el intercambio x y y representa reflejar y = x en la recta diagonal x = y). La parábola x = ay2 se abre hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda si a < 0. Esta vez la parábola es simétrica con respecto al eje x porque si (x, y) satisface a x =ay2, también lo hará (x,–y).

x = ay2 (a > 0) x = ay2 (a < 0)
La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje x si la ecuación no cambia cuando y es reemplazada por –y.
Ejemplo No.3: Trace la región limitada por la parábola x = y2 y la recta y = x – 2.
Respuesta:
Primero localizaremos los...