Transformadas De Fourier

1. Transformada de Fourier Discreta en el Tiempo.



La Transformada de Fourier discreta (denotada como X (Ω)) adquiere el mismo significado que su homóloga en tiempo continuo. La diferencia es, que en este caso pasamos de tiempo continuo a valores de tiempo discreto (x (t)→x[n] ).

[pic] donde [pic]

y N representa el periodo de la señal.

Es importante recordar que la TransformadaDiscreta de Fourier es siempre periódica, con un periodo de N = 2.π. Si queremos recuperar la señal original a partir la su transformada de Fourier utilizamos La Transformada inversa de Fourier

[pic]



2. Propiedades de la transformada discreta de Fourier (DFT)


• Linealidad

[pic]


Es decir, la transformada de Fourier de una señal h(n) multiplicada por un escalar [pic] es latransformada de Fourier de la señal, [pic], multiplicada por el escalar [pic].

Del mismo modo, la transformada de Fourier de la suma de dos señales, h(n) y g(n), es la suma de las transformadas de Fourier de ambas señales.






• Traslación en el tiempo (retardo)

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Esto es, si una señal es desplazada k, la transformada discreta de Fourier sufre un desplazamiento de fasede [pic]k. 



• Traslación de frecuencia

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Similar a la anterior, multiplicar la señal por ein[pic]o introduce un desfase de [pic]o en la transformada de Fourier.


• Convolución


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La convolución de dos señales en el dominio temporal da como resultado una transformada de Fourier que es la multiplicación de las transformadas de Fourier de las dos señalesoriginales. De igual forma, multiplicar dos señales en el dominio temporal da como resultado una convolución en el dominio frecuencial.


• Entrada de valor real

Si h(n) es real, como ocurre en la mayoría de procesos de lenguajes, H(ei[pic]) es simétrica. De igual forma, si h(n) es par, es decir h(n) = h(-n) entonces H(ei[pic]) es real.

Las transformadas de Fourier de valores realespueden obtenerse dos veces más rápido (están presentes únicamente la mitad de los números complejos).







• Conjugación y simetría conjugada.


Si entonces
[pic] [pic]



También, si x[n] es de valor real, su transformada es el simétrico conjugado.


A partir de eso se deduce que R X(eJW) es una función par de w y
Im X(eJW )es una funcionimpar de w. De manera similar a la magnitud de X(eJW) es una funcion par y el ángulo de fase es una funcion impar. Además;

Y [pic]

Donde Ev y Ed denotan las partes pares e impares, respectivamente, X[n]. Por ejemplo si X[n] es par y real, su transformada de Fourier también es par y real.




• Diferencia y acumulación.


En esta subsección examinamos la contrapartede tiempo discreto de la integración, es decir, la acumulación, y el inverso, la primera derivada. Sea x[n] una señal con transformada de la serie de Fourier
X (ejw). Entonces, a partir de las propiedades de linealidad y desplazamiento de tiempo tenemos que el par de la transformada de Fourier para la señal de primera diferencia x[n] - x [n -1]




A continuación, considere la siguienteseñal.

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Ya que y[n] - y [n -1] = x[n], podemos concluir que la transformada de y[n] debería estar relacionado con las transformada de x[n] dividiéndola entre (1 – e –jw).



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El tren de impulsos del miembro derecho de la ecuación reflejada anterior mente que muestra el valor de un promedio que puede resultar de la sumatoria.


• Inversión en el tiempo.Sea x[n] una señal con espectro X (eJW) y considere la transformada Y Y (eJW) de y[n] = x [-n].




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Sustituyendo m = -n en la ecuación anterior.





Esto es,






• Expansión de tiempo.


Debido a la naturaleza discreta del índice de tiempo para las señales discretas, la relación entre el escalamiento de tiempo y de frecuencia en tiempo...