Transformadas De Laplace
5.1 Funciones Ortogonales
DEFINICION
Dos funciones se dicen ortogonales en un intervalo si
.
Ejemplo
y son ortogonales en ya que
.
A diferencia del análisis vectorial, donde el concepto “ortogonal” es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término “ortogonal” y la condición correspondiente carecen de significadogeométrico.
5.2 Conjuntos Ortogonales y Conjuntos Ortonormales
DEFINICION
Un conjunto de funciones de valores reales,
se dice ortogonal en un intervalo si
.
Al número
se llama norma cuadrada y
es la norma de la función . Si es un conjunto ortogonal en y tiene la propiedad de que para entonces se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo.
Ejemplo
Demostrarque el conjunto es ortogonal en el intervalo .
Solución. Si hacemos la identificación y entonces hay que demostrar que , y que , . En el primer caso tenemos
,
y en el segundo
.
Ejemplo
Hallar la norma de cada una de las funciones pertenecientes al conjunto ortogonal dado en el ejemplo anterior.
Solución. Para , obtenemos
de modo que . Para, se tiene
.
Así, para , .
DEFINICION
Un conjunto de funciones , con se dice ortogonal con respecto a una función de peso en un intervalo si
, .
Ejemplo
El conjunto , es ortogonal con respecto a la función de peso constante en el intervalo .
5.3 Definición de Serie de Fourier
Supongamos que es un conjunto ortogonal infinito de funciones en un intervalo . Nospreguntamos: si es una función definida en el intervalo ¿Es posible determinar un conjunto de coeficientes , siendo para los cuales
Multiplicando la ecuación por e integrando sobre el intervalo resulta
Por ortogonalidad, cada término en el segundo miembro de la última ecuación es cero excepto cuando . En este caso tenemos
.
Se deduce que los coeficientes requeridos sonEn otras palabras, si
entonces
.
Si es ortogonal con respecto a una función de peso en , entonces multiplicando la ecuación inicial por e integrando, resulta
en donde
La serie con coeficientes dados por las ecuaciones anteriores se llama Serie de Fourier generalizada.
Hacemos notar que el procedimiento descrito para determinar los fue formal, esto es, se ignoraroncuestiones básicas acerca de si un desarrollo en serie tal como el descrito es realmente posible.
5.3.1. Series de Fourier
El conjunto de funciones
(1)
es ortogonal en el intervalo Supongamos que es una función definida en el intervalo que puede ser desarrollada en la serie trigonométrica,. (2)
Entonces los coeficientes pueden ser determinados como sigue.
Integrando ambos miembros de la ecuación (2) entre resulta
. (3)
Puesto que cada una de las funciones es ortogonal a 1 en el intervalo, el segundo de esta ecuación se reduce a un sólo término, y en consecuencia,
.
Despejando resulta. (4)
Ahora bien, multiplicando (2) por e integrando resulta:
. (5)
Ahora bien,
,
,
y
de modo que (5) se reduce a
.
Por lo tanto,. (6)
Finalmente, si multiplicamos (2) por integramos, y hacemos uso de los resultados
,
obtenemos que
. (7)
A la serie trigonométrica (2), con coeficientes definidos por (4), (6) y (7),...
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