Transformadas de laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sunisoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja , y reemplazar operaciones como la diferenciación y laintegración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja . Si esa ecuación algebraica se resuelve en para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variabledependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuacióndiferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.

VARIABLE COMPLEJA

La variable es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notación empleada para se indica en la siguiente ecuación:



Donde es la parte real y es la parte imaginaria.

FUNCIÓN COMPLEJA F(s)

Una función compleja, tiene unaparte real y una imaginaria:



Donde y son cantidades reales. La magnitud de es



Y el ángulo de es



El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de es



Se dice que una función compleja es analítica en una región, si y todas sus derivadas existen en esa región.



Los puntos del plano en los que la funciónes analítica, reciben el nombre de puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano en los que la función no es analítica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función es igual a cero, se denominan ceros

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis delas condiciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos:
una función de tiempo tal que para
una variable compleja
transformada de Laplace de
un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.


Entonces la transformada de Laplace de está dada por



El proceso inverso de hallar en tiempo , apartir de la transformada de Laplace , se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de la transformada inversa de Laplace es



Así



EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de una función existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro delrango y si es de orden exponencial cuanto tiende a infinito. Se dice que una función es de orden exponencial, si existe una constante real, positiva tal que la función



tiende a cero cuanto tiene a infinito. Si el limite de la función



tiende a cero para mayor que y el límite tiene a infinito para menor que , el valor recibe el nombre de abcisa de convergencia.

Para lafunción




Tiende a cero si . La abcisa de convergencia en este caso es . La integral



converge solamente si , la parte real de , es mayor que la abcisa de convergencia . Así hay que elegir el operador como una constante tal que esta integral converja.

En términos de los polos de la función , la abcisa de convergencia corresponde ala parte real del polo ubicado en...