Transformadas De Laplace

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
G. Pineda, D. Ramos
2011
Estudiantes de Pregrado de Cuarto Semestre de Ingeniería Mecánica
Universidad Técnica de Ambato
Facultad de Ingeniería Civil y Mecánica
giopineda2009@hotmail.com rdiegogeovanny@yahoo.es

RESUMEN

En este trabajo se analiza la aplicación de las Transformadas de Laplace; evaluando lafactibilidad de utilizarlas en las Ecuaciones Diferenciales, una parte de la Matemática más importante dentro de la Ingeniería Mecánica. Se ha aplicado las Transformadas de Laplace para hallar una solución particular de una ecuación diferencial a partir de la Transformada de Derivadas. Mediante este proceso es posible determinar la solución de la ecuación con condiciones iniciales dadas.Palabras Claves: Transformada de Laplace, Ecuaciones Diferenciales, Transformada de Derivadas.

ABSTRACT
In this article, the Laplace Transforms application are analyzed to evaluate the possibility to apply in the area of Differential Equations, which is one of the most important part of Math’s in the Mechanical Engineering. The Laplace Transforms have been apply to find a particular solution of aDifferential Equation using the Derived Transforms.
Through this process is possible determine the equation solution with initial conditions.
Keywords: Laplace Transforms, Differential Equations, Derived Transforms.


INTRODUCCIÓN
Numerosas aplicaciones en el área de la Ingeniería Mecánica requieren del uso de Ecuaciones Diferenciales (E.D), por lo que el objetivo del presente trabajo esanalizar un modo alternativo de abordar este problema mediante la aplicación de las Transformadas de Laplace para obtener una solución particular de las mismas, conociendo condiciones iniciales, el mismo que tiene varias ventajas, como evitar encontrar en primera instancia una solución general para su posterior evaluación con las condiciones dadas; por lo que es de fundamental importancia conocerlos siguientes aspectos:
Dada una ecuación diferencial:
y"+ay´+by=f(x)
Aplicar la Transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad:
L[y"+ay´+by]=L[f(x)]
Por la linealidad de L, esto se puede escribir como:
L[y"]+aL[y´]+bL[y]=L[f(x)]
La siguiente etapa consiste en expresar L[y´] y L[y"] en términos de L[y], para lo cual es necesario hallar las Transformadas de Derivadas, a partir dela definición de Transformada de Laplace:
Ly´=0∞e-pxy´dx
Consiguiendo de esta manera:
Ly´=pLy-y(0)
L[y"]=p2L[y]-py(0)-y´(0)

Sustituyendo estas Transformadas de Derivadas en la ecuación diferencial aplicada la linealidad de Laplace se obtiene:
L[y"]+aL[y´]+bL[y]=L[f(x)]
p2Ly-py0-y´0+ apLy-ay0+bLy=L[f(x)]

Donde despejando L[y] se tiene:
Ly=Lfx+p+ay0+y´0p2+ap+b

Este procedimiento esparticularmente adecuado para resolver ecuaciones diferenciales, donde los métodos tradicionales son difíciles de aplicar y además fx, y, y´,y", yn deben tener Transformadas de Laplace.

PROCESO EXPERIMENTAL
Para analizar la aplicación de las Transformadas de Laplace en Ecuaciones Diferenciales se ha tomado los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1[1]
Encontrar la solución particular de lasiguiente ecuación diferencial que satisfaga las condiciones iniciales:
y0=1 ; y´0=5

y"+4y=4x
L[y"]+4L[y]=4L[x]

Sabiendo que Lx=1p2 y conociendo la Transformada de Derivadas se tiene que:

p2Ly-py0-y´0+4Ly=4p2
p2Ly-p-5+4Ly=4p2
p2+4Ly=p+5+4p2
De modo que:
Ly=pp2+4+5p2+4+4p2(p2+4)

Aplicando fracciones parciales en el tercer término del segundo miembro de la ecuación se tiene que:Ly=pp2+4+5p2+4+1p2-1p2+4
Ly=pp2+4+4p2+4+1p2
Aplicando las transformadas inversas, se obtiene:
Ly=Lcos2x+L2sen2x+L[x]
Ly=L[cos2x+2sen2x+x]
Por lo tanto la solución particular es:
y=cos2x+2sen2x+x

Ejercicio 2[1]
Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial que satisfaga las condiciones iniciales:
y0=1 ; y´0=-2

y"+y=x
L[y"]+L[y]=L[x]

p2Ly-py0-y´0+Ly=1p2...