Transformadas Discretas De Fourier

Transformadas Discretas de Fourier

La Transformada Discreta de Fourier (DFT del inglés Discrete Fourier Transform) es el equivalentediscreto de la Transformada de Fourier donde se ha transformado la variable continua ‘t’ por lavariable discreta ‘nTs’ siendo ‘Ts’ el periodo de muestreo. Recordemos que la Transformada deFourier de una señal analógica x(t) es:

Xω=-∞∞x(t)∙e-jωtdt
LaTransformada Discreta de Fourier es un método muy eficiente para determinar el espectro enfrecuencia de una señal. Permite convertir una secuencia de valores en el dominio del tiempo a unasecuencia de valores equivalente en el dominio de la frecuencia.

La Inversa de la TransformadaDiscreta de Fourier (IDFT) realiza el proceso contrario.

Xk=n=0N-1x(n)∙WNnkk=0,1,.....,N-1
xn=1Nk=0N-1X(k)∙WN-nkn=0,1,.......,N-1
Donde las constantes ‘WN’ son conocidas como factores twiddley definidas como:
WN=e-j2π∕N
El inconveniente de realizar unos algoritmos que implementen tal cual estas fórmulas es la cantidad detiempo requerido para computar la salida. Esto es debido a que los índices k y n deben variar de 0 aN-1 para conseguir el rango de salida completo y, por tanto, se deben realizar 2N2operaciones (N2 multiplicaciones y N2 sumas).

Propiedades
Completitud
La transformada discreta de Fourier es una transformación lineal e invertible.
F:CN→CN
donde C denota el cuerpo de los números complejos. En otras palabras, para cada N>0, cualquier vector complejo N-dimensional tiene una DFT y una IDFT que consisten también en vectores complejos N-dimensionales.
Ortogonalidad
Losvectores e2πNkn forman una base ortogonal sobre el cuerpo de los vectores complejos N-dimensionales:
n=0N-1(e2πNkn)e-2πNkn=Nδkk'
donde δkk' es la delta de Kronecker. Esta condición de ortogonalidad puede ser utilizada para obtener la formula de la IDFT a partir de la definición de la DFT, y es equivalente a la propiedad de unicidad.
Los teoremas de Plancherel y Parseval
Si Xk y Yk son las DFTsde xn y yn respectivamente, entonces el teorema de Plancherel establece que:

donde el asterisco denota conjugación compleja. El teorema de Parseval es un caso especial del teorema de Plancherel, y dice que:

O también se puede escribir de la siguiente manera:
-∞∞f(x)2dx=2π-∞∞f(x)2dx
Estos teoremas son también equivalentes a la condición de unicidad.

Periodicidad
Si la expresión quedefine la DFT se evalúa para todos los enteros k en lugar de únicamente para , la secuencia infinita resultante es una extensión periódica de la DFT, de período N.
Esta periodicidad puede demostrarse directamente a partir de la definición:

De forma similar, se puede demostrar que la fórmula de la IDFT lleva a una extensión periódica.

Teorema del desplazamiento
Multiplicando  por una faselineal  para cualquier entero m equivale a un desplazamiento circular de la salida :  se reemplaza por , donde el subíndice se repite periódicamente (período N). De forma similar, un desplazamiento circular de la entrada  equivale a multiplicar la salida  por una fase lineal. Matemáticamente, si  representa el vector x entonces:
si  entonces y 

Teorema de la convolución circular y teorema dela correlación cruzada
El teorema de la convolución para las transformada de Fourier continua y discreta indica que una convolución de dos secuencias infinitas se puede obtener como la transformada inversa del producto de las transformadas de cada una de ellas. Con secuencias y transformadas de longitud N, la convolución circularse define:

El número entre paréntesis es 0 para todos losvalores de m excepto aquellos de la forma , donde p es un entero cualquiera. En estas posiciones vale 1. Puede ser por tanto reemplazado por una suma infinita de deltas de Kronecker. Nótese que se pueden extender los límites de m hasta infinito, siendo las secuencias x e y definidas nulas fuera de [0,N-1]:

que es la convolución de la secuencia  con la secuencia  que está extendida periódicamente y...